楕円の焦点の求め方

こんばんは。数学の公式集を見ると、
「２焦点F｛√（a^2-b^2）、0｝、-F｛√（a^2-b^2）、0｝からの距離の和が一定（＝2a）となる点Pの軌跡は
　x^2／a^2＋y^2／b^2＝１」とのこと。

※では逆に、楕円　x^2／a^2＋y^2／b^2＝１の焦点Ｆ、－Ｆはどうやって求めればよいのでしょうか？※

　参考書や問題集を見ても、いまひとつピンときません。分かりやすい考え方があれば教えて下さい。よろしくお願いします。

No.7 回答者： htms42 回答日時： 2008/04/01 14:46

円：1点からの距離が一定である点の軌跡

楕円：2点からの距離の和が一定になる点の軌跡

円はコンパスを使っても糸を使ってでも書くことができます。

楕円を糸を使って描いたことはありませんか。
紙の上に押しピンを２つ止めます。環にした糸を2つのピンにかけ鉛筆でぐるっと回せば楕円が出来ます。
糸の長さが決まっていますから２つの押しピンからの距離の和が一定が成り立っています。２つのピンの並んでいる方向に糸が来たときの位置が長軸です。２つのピンで２等辺三角形ができる位置が短軸です。
２つの押しピンの位置の中点が楕円の中心、押しピンの位置が焦点です。長半径、短半径、焦点の幾何的な関係がすぐに分かると思います。
２つの押しピンの距離が円からのずれを決めていますから
離心率＝焦点までの距離／長半径
という式のイメージも取れると思います。
地球の公転軌道の離心率は０．０１６４です。書いてみると分かると思いますがこれはもう殆ど円です。鉛筆の線の幅に入ってしまうぐらいのずれしかありません。楕円軌道という言葉で思い描くイメージとはかなり違います。

既に書かれている回答の中で「覚えるほどのことはない」とあるのは幾何的な関係ですぐに出てくる式だからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なんとなくイメージできました。
回答に感謝します。

お礼日時：2008/04/03 20:04

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/03/31 20:25

あ, あれれ?

「2定点 A, B から P までの距離の和が 4」を素直に書くと (|PA| は A と P の間の距離)
|PA| + |PB| = 4
ですよね. |PA| を移項すると |PB| = 4 - |PA| となり, |PA|, |PB| を座標で書けばその式になるはずなんだけど....

この回答へのお礼

回答ありごとうございます。

＞|PA| + |PB| = 4

おお～！　
回答に感謝します。

お礼日時：2008/04/01 00:04

No.5 回答者： age_momo 回答日時： 2008/03/31 20:06

こういうのに公式があるのですね。

わざわざ覚えるほどかどうか
別にして。。。

>では逆に、楕円　x^2／a^2＋y^2／b^2＝１の焦点Ｆ、－Ｆはどうやって求めればよいのでしょうか？

とりあえず、a>bの場合ですが、両焦点からの距離の和は2a

焦点を(t,0),(-t,0)とおくと原点、焦点、短径側の頂点(0,b)で直角三角形になるので

t^2+b^2=a^2
t^2=a^2-b^2
t=±√(a^2-b^2)

b>aの時も同じですね。
やっぱり、覚えるほどの公式ではないような。。。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。☆

考え方は単純なんですね。回答に感謝します。ありがとうございます。

お礼日時：2008/04/01 00:02

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/03/30 21:33

う～ん, そのくらいの問題なら「何も考えずに処理する」だけでいいような. わざわざ焦点とか長径, 短径を求める意味がやっぱりわからん.

√((x-1)^2+(y-1)^2) = 4 - √((x-1)^2+(y-3)^2)
の両辺を 2乗して√のかかる項とかからない項に分離し, 再度 2乗するだけだよなぁ....
あ, そうそう, 楕円だと「2定点からの長さの和 = 長半径の 2倍」ですね.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞√((x-1)^2+(y-1)^2) = 4 - √((x-1)^2+(y-3)^2)

逆に、上の式の意味がわかりません。解説していただけるとありがたいです。

お礼日時：2008/03/31 20:06

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/03/30 18:49

状況がよくわからないんだけど....

a > b なら (±√(a^2-b^2), 0), a < b なら (0, ±√(b^2-a^2)) になるんじゃないかなぁ.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ご指摘のとおり、私の入力ミスです。すみません・・・

状況としましては、数IIIの問題中に、「２つの定点A（１，３）、B（１，１）からの距離の和が４となるような点P（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ。」
という問題がありまして、この問題に解説中で、上記の焦点の公式を利用して、ａ，ｂの数値を求めていました。そこで、焦点の公式が重要なポイントとなっていたので、今回質問しました。ありがとうございました。

お礼日時：2008/03/30 19:25

No.2 回答者： d-l_-b 回答日時： 2008/03/30 18:47

誤；長さがｂの棒をイメージして

正；長さがａの棒をイメージして

です。失礼しました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

回答に感謝します。

お礼日時：2008/03/30 19:20

No.1 ベストアンサー 回答者： d-l_-b 回答日時： 2008/03/30 18:45

頭の中で図形的に処理するなら

横長の楕円　a>bのとき

長さがｂの棒をイメージして
http://www.keirinkan.com/kori/kori_earth/kori_ea …
点(0，ｂ)の位置に棒を立てかけます。図の斜めの線
ｘ軸上に棒の下側が突きますが(2箇所)それらが焦点です。
(±√（a^2-b^2），０）

縦長の楕円　a<bのときは　上の作業でｘとｙを変えるだけです。


これなら楕円が平行移動していても、処理しやすいです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

質問の訂正：誤　-F｛√（a^2-b^2）、0｝
　　　　　　正　-F｛－√（a^2-b^2）、0｝

補足日時：2008/03/30 19:13

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。☆

物理で使うことがあるのですね！
これならピンときました。ありがとうございます。

（ひょっとして、長さがaの棒ではありませんか？）

お礼日時：2008/03/30 19:19