巻かれたトイレットペーパーの長さの計算式

芯の直径を『Ｒ』
芯の半径を『ｒ』
巻かれたトイレットペーパーの総厚を『Ｘ』
トイレットペーパーの薄さを『Ｙ』
円周率を『π』

　　／￣＼　　￣￣←Ｘ
　（ 　○　 ）　￣￣←Ｒ
　　＼＿／　　￣￣←Ｘ
　　　　　　　　￣￣
とした場合
トイレットペーパーの全長を出す計算式を
教えて下さい。

簡単な物から
微分積分を使った物まで何でも結構です。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/02 17:57

ペーパの長さをＬとすると

π・（Ｘ＋ｒ）＾２－π・ｒ＾２＝Ｌ・Ｙ
すなわち
Ｌ＝π・（Ｘ＾２＋２・Ｘ・ｒ）／Ｙ

Ｌ・Ｙはペーパ側面の面積に等しいはずだから

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました！！

お礼日時：2002/11/03 16:55

No.7 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/02 20:49

Ｌ＝π・（Ｘ＾２＋２・Ｘ・ｒ）／Ｙ＝π・Ｘ（Ｘ＋Ｒ）／Ｙ

からＬは求まるけれどもＹの精度が取れないことから
工学的立場から言うと
Ｙ＝π・Ｘ・（Ｘ＋Ｒ）／Ｌ
によってＸとＲとＬからＹを求めるような使い方が普通です
Ｙは精度が取れないだけでなくばらつきが大きく増減しやすいからね

No.6 回答者： noname#21384 回答日時： 2002/11/02 20:09

＃５さん。

どうもありがとうございます。
確かに、タイプミスにより、計算間違いしていますね。
申し訳ありませんでした。
Ｌ＝（２ｘ＋４ｒ）２Ｘπ／４Ｙ
　＝２＊（Ｘ＋２ｒ）＊２Ｘπ／４Ｙ
　＝Ｘπ（Ｘ＋２ｒ）／Ｙ

　ですね(^_^)

＃１さんと同じですね～♪

No.5 回答者： rei00 回答日時： 2002/11/02 19:12

　sanpogo さんの回答を参考にして，こんな方法を考えてみました。

　半径 t の円周の長さは 2πt で求まりますから，半径 t から t+dt 部分の面積は 2πt・dt ですね。

　これを使うとトイレットペーパーの紙部分の面積は，r から r+X まで 2πtdt を積分したものになります。これが，紙の厚さ Y に紙の長さ L を掛けたものに等しいですから，

　　∫(from r to r+X)2πtdt = LY

　したがって，
　　LY = π(r+X)^2-πr^2 = πX(2r+X)

　　∴　L = πX(2r+X)/Y


#2 さん，
> Ｌ＝（２Ｘ＋２ｒ＋２ｒ）（２Ｘ＋２ｒ－２ｒ）π/４Ｙ
> ＝（４ｘ＋４ｒ）２Ｘπ／４Ｙ
　タイプミスみたいですね。『（４ｘ＋４ｒ）２Ｘπ／４Ｙ』じゃなくて「（２ｘ＋４ｒ）２Ｘπ／４Ｙ」ですよ。

No.4 回答者： sanpogo 回答日時： 2002/11/02 18:48

すみません。

間違えました。
a(3)=2π(r+2Y)

だからその後全部違いますね。
　　　　　　　　　　　　　Ｘ／Ｙ
S(n)=2π（Ｘ／Ｙ・ｒ＋Ｙ・Σｋ）
　　　　　　　　　　　　　ｋ＝１
　　＝２π（Ｘ／Ｙ・ｒ＋Ｙ（１／２・Ｘ／Ｙ（Ｘ／Ｙ＋１）））
　　＝２πＸ／Ｙ（ｒ＋１／２Ｘ＋１／２Ｙ）
必要の無い変形だと思いますが
　　＝πＸ／Ｙ（２ｒ＋Ｘ＋Ｙ）

No.3 回答者： sanpogo 回答日時： 2002/11/02 18:39

トイレットペーパーをバームクーヘンみたいに何層になっているものだと考えて（考えていいのだろうか？）

一周するトイレットペーパーの長さをa(n)とします。
a(1)=2πｒ
a(2)=2π(r+Y)
a(3)=2π(r+Y+1)
・
・
・
a(X/Y)=2π(r+X)

これの総和だから
　　　　　　　　　Ｘ／Ｙ
Ｓ(n)=2π（X/Y・r+Σｋ）
　　　　　　　　　ｋ＝１
　　＝２π（Ｘ／Ｙ・ｒ＋１/２・Ｘ／Ｙ（Ｘ／Ｙ＋１）
　　＝２πＸ／Ｙ（ｒ＋１／２（Ｘ／Ｙ＋１））
になったんですが
甚だ自信ないです。

No.2 回答者： noname#21384 回答日時： 2002/11/02 18:16

私の場合は、トイレットペーパー（以下、ＴＰ）の体積を求め、紙の厚さを割ることで全長を求めました。

ＴＰの体積を求めるためには・・・
巻かれたＴＰの全直径：Ａ（芯も含めた全体の直径）
　shintamanさんの質問や図より、Ａ＝2(Ｘ＋ｒ）となります。
　Ｘは巻かれた部分の厚さ、rは芯の半径です
　ちなみに、Ｒは芯の直径ですからＲ＝２ｒとなります。
ＴＰの奥行き：Ｗとすると
巻かれたＴＰ全体の体積は(1/2A)^2πWとなります。
芯の体積は(1/2Ｒ)~2πWとなります。

よって、巻かれた部分の紙の体積は(1/4)πW(A~2－Ｒ~2）となります。

求める紙の全長をＬとすると、紙の体積は、ＹＬＷとなります。
Ｙは紙の薄さ、ＷはＴＰの幅です。

故に、ＹＬＷ＝(1/4)πＷ(A~2－Ｒ~2）となることから、
Ｌ＝(A^2－R~2)π/４Ｙとなります。
因数分解を行うと
Ｌ＝(Ａ＋Ｒ）（Ａ－Ｒ）π／４Ｙとなります。
Ａ＝2(Ｘ＋ｒ）、Ｒ＝２ｒより

Ｌ＝（２Ｘ＋２ｒ＋２ｒ）（２Ｘ＋２ｒ－２ｒ）π/４Ｙ
　＝（４ｘ＋４ｒ）２Ｘπ／４Ｙ
　＝２Ｘπ（Ｘ＋ｒ）／Ｙ

　となります。

　結果として、

　トイレットペーパーの巻かれた全長を求めるには、
　巻かれた紙の厚さの２倍に円周率をかけたものに、巻かれたトイレットペーパー全体の半径（Ｘ＋ｒ）をかける。
　そして、そのかけた結果を、紙の厚さで割る

　ということになります。

　たぶん、違っているかも・・・