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(1)(2)に関して、質問があります。
(1)三角形OABがある。
実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。
(2)三角形OABがある。
実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。
まず、(1)は大数の問題で、解答もあるのですが、
"s+2t=k(kは正の定数)とおき、
(→OP)=s/k(k→OA)+2t/k(k/2→OB),
s/k+2t/k=1,s/k≧0,2t/k≧0,により、
(→OA')=k(→OA),(→OB')=k/2(→OB)
とおくと、Pは線分A'B'上を動く。(以下略)"とあるのですが、
点Pが直線A'B'上を動くと決まるのは,
"s/k+2t/k=1"という式で、点Pが直線A'B'上にあるよ!ということを示しているのですよね?
それを"s/k≧0 , 2t/k≧0"という条件が直線A'B'上の動く範囲を指定していて、この場合は線分A'B'上を動くということを示しているのですよね?
ちなみにもしこのとき0≦s≦1の条件がついたとしたら、どう考えるのでしょう?
また(2)については、(1)のように定数kで固定しようと考えてみてみても、うまくつながりません。最初の不等式をいじって条件を導くべきなのでしょうか?
ベクトル方程式については、高校時代からあやふやで、(2)のようになると手も動きません;;
浪人ということもあり、ここはしっかり理解したいと思っているので、みなさん是非教えてください!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「高校の」ベクトル(いわゆる矢印ベクトル)ってのは
「斜めの座標」にしかすぎません.
三角形OABとかいわれてるなら,まずは
Oを原点,Aを(1,0),Bを(0,1)として
やってみましょう.
このとき
実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。
ってのは,単に普通の座標で
x,y>=0,x+2y<=2
っていわれてるのと同じだって理解できますか?
単にPの座標が(s,t)になってるので文字を変えるだけ.
つまり「三角形の内側」.
これが「0≦s≦1」だったら
y>=0,x+2y<=2,0<=x<=1
となるわけです.
じゃあ,
「Oを原点,Aを(1,0),Bを(0,1)」
じゃなかったらどうなるか?
座標軸が斜めになるだけです.
#理論的な正当化には一次変換が必要だけども
#直感的には明らかでしょう?
(2)に関しても同様.
同じように普通の座標系で考えれば
Pは(s+2t,t-s)で s-t>=0 , s+t<=2 , t>=0
これを図に描けばいいのです.
X=s+2t
Y=t-s
とおけば,
t=(X+Y)/3
s=(X-Y)/3
だから,X,Yの条件に直せるでしょう.
これを普通の座標で描いてから
斜めの座標に移せば終わりです.
この考え方は結構本質です.
大数の解は,こういうことを理解して振り返れば
何をやってるのかは自明でしょう.
直線を考えるときには「x+y=1」だけしか考えなくてよい.
ただし座標の方が斜めになるなるんだということなんです.
そして,複数の条件があるときは
一番都合のよい条件だけを考えて「大きな解」を出しておいて,
さらに他の条件を考えて解を絞り込みます.
受験らしい解法をしてみると
実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)
=s((→OA)-(→OB)) + t( 2(→OA) + (→OB))
=(s/2) 2((→OA)-(→OB)) + (t/2) 2( 2(→OA) + (→OB))
s/2 + t/2 ≦2 , t/2 ≧0
だから,
2((→OA)-(→OB)) の終点と2( 2(→OA) + (→OB))の終点と結ぶ
直線を考えて
その直線のO側全体と
2((→OA)-(→OB)) 以上の部分がでてきます.
さらに
s-t≧0 つまり,t/2 =< s/2 という条件が加わるので
2((→OA)-(→OB)) の終点と2( 2(→OA) + (→OB))の終点と結ぶ線分の
中点と原点を結んだ直線以下となります.
結局「斜めの座標」というのが本質なので
それを念頭におけばいいのです.
しばらく考えていましたが、やっとすっきり繋がりました。
斜交座標というんでしょうか?
とにかく座標はいいですね。
高校で習ったただ式変換するよりずいぶんわかりやすいです!
ありがとうございました!
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