定積分です！！

「∫(x-α)(x-β)(x-γ)dx (定積分の区間は下端α、上端γ)=1/12・(γ-α)^3(2β－α-γ)のγ=βとすると、∫(x-α)(x-β)^2dx　(定積分の区間は下端α、上端β)=(β-α)^4/12である。α＜βのときは曲線y=(x-α)(x-β)^2とx軸とで囲まれた部分の面積をあらわしている。」とかいてあったのですが、なぜ「α＜βのときは曲線y=(x-α)(x-β)^2とx軸とで囲まれた部分の面積をあらわしている」といえるのか分かりません・・　　教えてください！！

No.2 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/11/16 23:05

α＜βのときは, 積分区間は［α,β］なので, α≦x≦βであり,

この範囲では
曲線y=(x-α)(x-β)^2
について 常に (x-α)≧0 かつ (x-β)^2≧0
が言えて, 必ず y=(x-α)(x-β)^2≧0となる (正定値という)が成り立つからです.
すると積分して確かに面積(≧0)が出てきます.

もし途中に y＜0 となる部分があると, 通算(積分)すると, 黒字(プラス)と赤字(マイナス)が入り混じって差し引きされた合計が出てしまい, 図形的に見た"面積"とは合わなくなります.

この回答への補足

なぜ、>常に (x-α)≧0 といえるのでしょうか？また、α＜βのとき積分区間が[β、α]だったときはどうなるのでしょうか？？

補足日時：2002/11/21 20:13

No.3 回答者： may-may-jp 回答日時： 2002/11/23 14:01

> なぜ、常に (x-α)≧0 といえるのでしょうか？

「α≦x≦β」という前提で話しているからです。

> α＜βのとき積分区間が[β、α]だったときはどうなるのでしょうか？？

実際にやってみると分かると思います。
例えば、曲線y＝(x-1)(x-3)^2　において、[3、1]で積分するとどうなるでしょうか？

No.1 回答者： may-may-jp 回答日時： 2002/11/16 09:51

基本的に、∫(x-α)(x-β)(x-γ)dxというように定積分した場合は曲線とx軸とで囲まれた面積を表します。

ただ、その面積がxのマイナス方向に伸びることが当然ありますよね？そのときは面積にもマイナスがつくので、正確には「プラスの面積とマイナスの面積の差」が計算結果として出てくるわけです。

ですから、正確に「囲まれた部分の面積である」と言うには、その部分が＋x方向のみである必要が出てくるわけです。このことが、「α＜βのとき」という条件がつく理由です。