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 アークsinなどの極限の問題がとけません。

 lim tan^-1(1/x^2)

lim (sinx^-1/tanx) ともにx→0です。

宜しくお願いします。
 

A 回答 (2件)

第1問


lim_{x→0}tan^-1(1/x^2)
tan^-1(1/x^2)=θ と置くと, 1/x^2=tanθ
x→0のとき, (1/x^2)→+∞ なので,
与式は tanθ→+∞ となるθ(一般には-π/2<θ<π/2 だが, 極限なので-π/2≦θ≦π/2) を表し,
(与式)=π/2

第2問
lim_{x→0}(sin^(-1)x/tanx) [←これでいい?]
sin^(-1)x=θ と置くと, x=sinθ より
sin^(-1)x/tanx=θ/tan(sinθ)={sinθ/tan(sinθ)}{θ/sinθ}
より, x→0のとき θ→0で sinθ→0にも注意すると
{sinθ/tan(sinθ)}→1
{θ/sinθ}→1
より
(与式)=1・1=1
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よくわかりました。もっと勉強したいと思います。

お礼日時:2002/12/13 13:34

arctan,arcsinをどのような範囲で考えるかが問題のように思います。


-π/2<arctanx<π/2と考えれば
1/x^2→∞なので、lim tan^-1(1/x^2) =π/2
でいいのかな。
範囲を一つの範囲に絞らなければ多価関数で決まらない。

2つ目は
θ=arcsinxとおくと
x=sinθ 
この場合も範囲を限定してθが1つの値になるようにします。
θ→πや2πのときはおもしろくない。(xのプラスマイナスで決まらなくなる
∞,-∞)
問題としておもしろいのはθ→0のときでしょう。

x→0のときθ→0とすると
lim(arcsinx/tanx)=lim(θ/tan(sinθ))
=lim((θ/sinθ)/(tan(sinθ)/sinθ)
=lim((θ/sinθ)/(tanx/x))=1/1=1

自信ありとしましたが半分くらいかな。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。勉強になります。

お礼日時:2002/12/13 13:33

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