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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
類の積<a><b>を
<a><b>=<ab>
と定義したのですが、これが類の代表元の選び方に依存しない
(well-defined)ことは容易に示せますね。したがって、この定義は一
意的であり、矛盾点を含みませんから、それ以上何も証明を必要とし
ません。
しかし、質問者さんは、この逆を質問しようとしているのではないか
と思います。
すなわち、類<ab>に属する任意の元が類<a><b>に属するかどうかとい
うことですね。質問者さんの心配する気持ちは分かります。でも、こ
れは証明する必要がありません。これは<a><b>の定義から明らかです。
つまり、
ab+j∈(ab+J)=(a+J)(b+J)
ですよね。
No.8
- 回答日時:
No7の回答は撤回します。
類の積の定義、
<a><b>=<ab>
は代表元の選び方に依存しませんし、矛盾点を含みませんから、
これ以上何も証明を必要としません。しかし、集合としてみたとき、(a+J)(b+J)>⊆(ab+J)は容易に示せますが、
(a+J)(b+J)>⊇(ab+J)を示すことは困難です。
一般的に(a+J)(b+J)>⊇(ab+J)は成り立ちません。たとえば、整数環Z
のイデアルを8Zとしたとき、
a=2,b=4の場合はどうでしょうか、jを任意の整数としたとき、
2*4+8*j=(2+8*J_1)(4+8*j_2)
となる整数j_1,j_2が存在するかどうかです。j=1の場合を考えてみれ
ば明らかですよね。
ということで、集合として<a><a>>⊆<ab>ですが、<a><a>⊇<ab>は成り立ちません。しかし、類の積としての定義
<a><b>=<ab>は矛盾を含みませんので、商環R/Jに積が矛盾なく定義されたことになります。
とても詳しい御回答どうもありがとうございます。
お陰様でだんだん分かってきた様な気がします。
『(a+J)、(b+J)に対して(ab+J)が一意的に決まる。
ゆえに(a+J)(b+J)=(ab+J)とすることできる。』
みたいな感じで理解しておくことにしました。
この度は何度も御回答どうもありがとうございました。
No.7
- 回答日時:
No3です。
No3の繰り返しになるかもしれませんが・・・>「<ab>=ab+Jの任意の元(ab+j_1)が<a><b>=(a+J)(b+J)の元である」ことを証明したいのです。
これは定義から明らかです。証明の必要はありません。
>「ab+j_1=・・・・・=(a+j_2)(a+j_3)∈(a+J)(b+J)」
の「=・・・・・=」の部分を埋めたいのです。
それはできません。また、「=・・・・・=」の部分を埋める必要はないと思います。
しかし、j_2とj_3が存在することは定義によって保証されています。
この回答への補足
再度のご回答どうもありがとうございます。
私の使っている本でも定義となっておりました。
私が気になっておりますのは剰余環は環ですから、
加法<a>+<b>=<a+b>
乗法<a><b>=<ab>
が定義されているわけですが、
加法の『<a>+<b>=<a+b>』は
(a+J)+(b+J)=(a+b)+J、としっかり証明されているにもかかわらず
乗法に関してはその証明がよく分からないという点です。
「乗法<a><b>=<ab>は定義なので証明は必要ない」とのことですが、
これは定義なので『<a><b>=<ab>』の証明はできないということでしょうか?
(そうするとNo.2さんの
<ab>=ab+J=ab+aJ+bJ+J=(a+J)(b+J)=<a><b>
の式はやはり間違いなのでしょうか?)
乗法<a><b>=<ab>においても
<a><b>⊆<ab>は証明できたのですが、(<a>∋a+j_1として元に直して証明しました。)
<a><b>⊇<ab>が証明できません。
<a><b>⊇<ab>が証明できないのはそれは「定義だから」ということでしょうか?
No.6
- 回答日時:
訂正:済みません。
No.4 は、非常に間違ったことを書いたので、全面的に無視してください。
No.5
- 回答日時:
勝手に推察するに、
質問者さんは <ab> = <a><b> であることを「わかった」上で、
では j1 ∈ J に対して ab + j1 = (a + j2)(b + j3) なる j2, j3 ∈ J が「求まるだろう」
と考えて質問してるんだと思うのさ。
しかし数学ではよくあることに、
「存在すること」と「その元が具体的に求まること」は同じではないのです。
この回答への補足
再びのご投稿どうもありがとうございます。
すみません、私が分からないのは
ずばり『<ab> = <a><b>』の式の証明なのです。
(No.2さんの
<ab>=ab+J=ab+aJ+bJ+J=(a+J)(b+J)=<a><b>
の式が合っていればよいのですが、どうでしょうか?)
以下No.7さんの補足と重複になりますが、
剰余環は環ですから、
加法<a>+<b>=<a+b>
乗法<a><b>=<ab>
が定義されているわけですが、
加法の『<a>+<b>=<a+b>』は
(a+J)+(b+J)=(a+b)+J、としっかり証明されているにもかかわらず
乗法に関してはその証明がよく分からないという点です。
乗法<a><b>=<ab>においても
<a><b>⊆<ab>は証明できたのですが、(<a>∋a+j_1として元に直して証明しました。)
<a><b>⊇<ab>が証明できません。
『<a><b>⊇<ab>』の証明は元<a+b>∋a+j_1を利用しての証明は無理との
ご指摘ですが、
他の方法を用いれば『<a><b>=<ab>』の証明はできるのでしょうか?
それとも『<a><b>=<ab>』自体定義なので証明できないのでしょうか?
よろしくお願い致します。
No.4
- 回答日時:
> の「=・・・・・=」の部分を埋めたいのです。
与えられた a, b, j_1 に対して
ab + j_1 = (a + j_2)(b + j_3) となる j_2, j_3 を見つけたい
という話なら、j_2 = j_1, j_3 = 0 で十分なはずです。
R は、可換環ですね?
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