負の数のあれこれ

Question

以下のことについて一つでもいいので答えて下さい
1:-3は3の倍数か
　倍数というのはnの「自然数倍」ですか？「整数倍」ですか？
2:-3の倍数というのはあるのですか
　負の数の倍数はあるのですか
3:-3は負の素数といえるのですか？
　負の数にも素数はあるのですか？
教えてください

rinmedic · Accepted Answer

大雑把な説明になりますが、自然数を拡張したものが整数です

１．　－３は３の倍数か？
大雑把には倍数であるといえます
（倍数とは整数倍、特に自然数倍）

２．　－３の倍数はあるのか？
－６、－９・・・などが倍数に当たります

３．－３は負の素数といえるのか？
　負の数については素数はありません
（素数は、１とその数以外に正の約数がない自然数）

jo-zen · Answer

１．について　　　⇒　「整数倍」です

元になる数があり、その数を整数倍した数を倍数といいます。

●整数 a, b において、b ÷ a が割り切れれば、b は a の倍数であるという。 
●整数 a, b において、a の整数倍が b になっていれば、b は a の倍数であるという。

自然数倍を倍数ということが、一般には多いのですが、それは、日常生活では負数倍や、０をかける（結果は０で自明）ことの必要性が少ないからという理由だけです。

２．について　　⇒　１からもわかるように、－３の倍数もあります。

３．について　　⇒　素数とは、「1とその数自身以外に正の約数がない（つまり1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない）、1 より大きな自然数のこと」という定義がありますので、－３は素数ではありません。負数では素数とはいいません。但し、絶対値をとったものが素数かどうかを議論する場合はあります。

ojisan7 · Answer

>>1:-3は3の倍数か
　そうです。３の倍数です。
　正しくは、nの倍数というのはnの「整数倍」です。
（注意１：中学では自然数倍だけを考えている。）

>>2:-3の倍数というのはあるのですか
　はい、あります。それは、(-3)×(整数)です。

>>負の数の倍数はあるのですか
　はい、あります。

>>3:-3は負の素数といえるのですか？
　そうです、負の素数です。
  
>>　負の数にも素数はあるのですか？
　はい、あります。数学では１の約数（１と-１）を単元といいます。
３の約数は１，－１，３，－３の４個です。ある整数ｐを整数の積に分解したとき、ｐ＝ｋｐ（ただしｋは単元）の形以外に分解できない場合、ｐを素数といいます。だから、-3は素数です。ただし、単元は素数ではありません。（注意２：中学では、１とその数以外に約数をもたない自然数を素数といっています。）

ojisan7 · Answer

No3です。一部訂正します。
>>　負の数にも素数はあるのですか？
ありません。素数は１より大きく、１とその数以外に約数をもたない整数です。（中学以降の数学でもこの定義は変わりません。）

Tacosan · Answer

3 は「数をどのような範囲で考えるか」に依存しますが, 「自明な約数しか持たないから -3 は素数である」と言うことは可能です.
「ガウス整数」とか考えだすといろいろあって....

arrysthmia · Answer

「倍数」という言葉の意味は、
「倍」とは何か？ の定義によって変わります。
それを示しておかないと、意味が定まらない。
例えば、「有理数倍」を「倍」と認めてしまうと、
全ての有理数は、お互い倍数どうしになります。

だから、どういう「倍」について話しているのかを
最初に断らないといけないのですが、
特に断らない場合は、「整数倍」を「倍」とするのが
普通です。

小学校では、「自然数倍」を「倍」とする「倍数」
の観念を習いますが、ここでは『-3は3の倍数か』と
『』の中に既に負数が入っていますから、
「整数倍」を「倍」とする「倍数」で考えるのが
数学の慣習に沿っており、自然です。

１：(たぶん) yes
議論の前提を確認しないと微妙な部分もあるが、
常識的には、倍数と考えるのが自然。
その際、「倍数」は「整数倍」で考えている。

２：(当然) yes
何を「倍数」とするにしても、
(-3)×(何か) を考えることには、問題は無い。

３：(かなり微妙だが) no
1 の約数のことを「単元」と言って、素元分解では、
単元を掛けたものどうしは同一視するのが普通です。
-3 は、有理整数の素元はあるのですが、その場合、
-3 と 3 をあまり区別せず言っているのであって、
ことさらに「負の」素数と呼ぶのは、かなり不自然です。

蛇足：
ガウス整数でも、-3 は素元です。
5 = (1 + 2 √-1)(1 - 2 √-1) とかは、あるのですが。

負の数のあれこれ

大雑把な説明になりますが、自然数を拡張したものが整数です

１．について ⇒ 「整数倍」です

>>1:-3は3の倍数か

No3です。

3 は「数をどのような範囲で考えるか」に依存しますが, 「自明な約数しか持たないから -3 は素数である」と言うことは可能です.

「倍数」という言葉の意味は、

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