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No.6
- 回答日時:
「倍数」という言葉の意味は、
「倍」とは何か? の定義によって変わります。
それを示しておかないと、意味が定まらない。
例えば、「有理数倍」を「倍」と認めてしまうと、
全ての有理数は、お互い倍数どうしになります。
だから、どういう「倍」について話しているのかを
最初に断らないといけないのですが、
特に断らない場合は、「整数倍」を「倍」とするのが
普通です。
小学校では、「自然数倍」を「倍」とする「倍数」
の観念を習いますが、ここでは『-3は3の倍数か』と
『』の中に既に負数が入っていますから、
「整数倍」を「倍」とする「倍数」で考えるのが
数学の慣習に沿っており、自然です。
1:(たぶん) yes
議論の前提を確認しないと微妙な部分もあるが、
常識的には、倍数と考えるのが自然。
その際、「倍数」は「整数倍」で考えている。
2:(当然) yes
何を「倍数」とするにしても、
(-3)×(何か) を考えることには、問題は無い。
3:(かなり微妙だが) no
1 の約数のことを「単元」と言って、素元分解では、
単元を掛けたものどうしは同一視するのが普通です。
-3 は、有理整数の素元はあるのですが、その場合、
-3 と 3 をあまり区別せず言っているのであって、
ことさらに「負の」素数と呼ぶのは、かなり不自然です。
蛇足:
ガウス整数でも、-3 は素元です。
5 = (1 + 2 √-1)(1 - 2 √-1) とかは、あるのですが。
No.5
- 回答日時:
3 は「数をどのような範囲で考えるか」に依存しますが, 「自明な約数しか持たないから -3 は素数である」と言うことは可能です.
「ガウス整数」とか考えだすといろいろあって....
No.3
- 回答日時:
>>1:-3は3の倍数か
そうです。3の倍数です。
正しくは、nの倍数というのはnの「整数倍」です。
(注意1:中学では自然数倍だけを考えている。)
>>2:-3の倍数というのはあるのですか
はい、あります。それは、(-3)×(整数)です。
>>負の数の倍数はあるのですか
はい、あります。
>>3:-3は負の素数といえるのですか?
そうです、負の素数です。
>> 負の数にも素数はあるのですか?
はい、あります。数学では1の約数(1と-1)を単元といいます。
3の約数は1,-1,3,-3の4個です。ある整数pを整数の積に分解したとき、p=kp(ただしkは単元)の形以外に分解できない場合、pを素数といいます。だから、-3は素数です。ただし、単元は素数ではありません。(注意2:中学では、1とその数以外に約数をもたない自然数を素数といっています。)
No.2
- 回答日時:
1.について ⇒ 「整数倍」です
元になる数があり、その数を整数倍した数を倍数といいます。
●整数 a, b において、b ÷ a が割り切れれば、b は a の倍数であるという。
●整数 a, b において、a の整数倍が b になっていれば、b は a の倍数であるという。
自然数倍を倍数ということが、一般には多いのですが、それは、日常生活では負数倍や、0をかける(結果は0で自明)ことの必要性が少ないからという理由だけです。
2.について ⇒ 1からもわかるように、-3の倍数もあります。
3.について ⇒ 素数とは、「1とその数自身以外に正の約数がない(つまり1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない)、1 より大きな自然数のこと」という定義がありますので、-3は素数ではありません。負数では素数とはいいません。但し、絶対値をとったものが素数かどうかを議論する場合はあります。
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