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実数x, yがx^2 + y^2≦1を動くとき, (x + y, xy)が動く範囲を座標平面上に図示せよ。
という問題が受験数学でありますよね。この問題を少し拡張して
「xy平面上の点P(x, y)が領域D(x, y)の周および内部を動くとき(ax + by, cxy), abc≠0の動く範囲」
を考えてみようと思いました。
(p, q) = (ax + by, cxy)とおくX = acx, Y = bcyとおくと
(cp, abcq) = (X + Y, XY)と変換され、領域D(x, y)はD'(X, Y)に移される
X, Yはtの二次方程式
f(t) = t^2 - (X + Y)t + XY = t^2 - cpt + abcq = 0
の解なので、この解がD'内にある条件を決定する。
(1) D'(X, Y)がXとYの対称式で表される場合、pとqに変換できる。+実数条件。
(2) D'(X, Y)がX1≦X≦X2, Y1≦Y≦Y2というような領域の場合、解の存在条件からpとqに書き換えられる。
ただしX1<X2, Y1<Y2, X1∈[-∞, ∞), X2∈(-∞, ∞], Y1∈[-∞, ∞), Y2∈(-∞, ∞]
(表記が適当なので間違っているかもしれません。雰囲気で(笑))
このほかにこの方法でp, qを表せるような領域はないでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
u = ax, v = bx, r = uv と置くと、
(u,v) → (p,r)=(u+v,uv) の変換は
基本問題どおり、
(x,y) → (u,v)=(ax,by)
(p,r) → (p,q)=(p,(c/ab)r) の変換は
軸ごとの定数倍ですから、簡単です。
あとは、それらを合成するだけ。
順を追って、D を変形してゆきましょう。
No.2
- 回答日時:
簡単なことだろう。
ax =α、 by=βとすると、abxy=αβであるから、X=ax + by、Y=cxy=(c/ab)αβ。
c/ab=kとすると、X=ax + by=α+β、Y=cxy=(c/ab)αβ=kαβ。
従って、αとβはt^2-Xt+(1/k)Y=0. 対称式の場合は簡単だろう。
そうではない場合は、xとyをXとYで表し、条件にぶち込むだけ。
a、b、cが全て定数であるにしても、計算が面倒であるだけで、大して意味のない事だよ。
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