No.2ベストアンサー
- 回答日時:
当たり前のことをきちんと証明する問題です。
こういう場合は、それぞれの定義をきちんと書き出して、仮定から結論が導けることを定義に従って示します。
まず「外測度の列が一様収束する」「外測度の列がa.e.収束する」の定義を書き下してください。
ありがとうございます。
> 当たり前のことをきちんと証明する問題です。
> こういう場合は、それぞれの定義をきちんと書き出して、仮定から結論が導けることを定義に従って示します。
> まず「外測度の列が一様収束する」「外測度の列がa.e.収束する」の定義を書き下してください。
前者は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|λ*(x)-λ*_n(x)|≦ε)
です。
後者はa.e.で各点収束する事です。つまり
0<∀ε∈R,∀x∈a.e,∃L∈N;(L<n⇒|λ*(x)-λ*_n(x)|≦ε)
x∈a.e.は殆ど至る所のx∈Eという意味です。
つまり,Eから零集合らZを取り去った集合,
x∈E\Zの意味です。
一様収束⇒各点収束
ですよね。
しかも今,
E\Z⊂Eとなっているわけですから
Eで一様収束するならEで各点収束する。
Eで各点収束するならa.e.(即ちE\Z)でも各点収束する。
という解釈で大丈夫でしょうか?
No.3
- 回答日時:
ANo.2のお礼について。
収束するのが関数列なら良いですが、外測度の列だと離散測度でもない限り一点の値は0だよ。
もう一度、定義を確認してみよう。
この回答への補足
すいません。訂正です。
問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。
そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,
0<∀δに対し,λ(E\F)<δで,{f_k}がfにF上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上で殆ど一様収束するという。
なので
仮定より,E⊃∃FはR^nで閉集合で0<∀δ∈Rに対し,λ(E\F)<δそして{f_k}はfにF上で一様収束。
したがって λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=λ({x∈E\F;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})<δと書ける。
今,δは任意に採ったのでλ({x∈E\F;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0即ちλ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0
となりました。これでいいでしょうか?
> ANo.2のお礼について。
> 収束するのが関数列なら良いですが、外測度の列だと離散測度でもない限り一点の値は0だよ。
> もう一度、定義を確認してみよう。
ありがとうございます。
正確な問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義はですね。
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。
そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,{f_k}はfにE上でa.e.収束する。
0<∀δに対し,λ(E\F)<δで,{f_k}がfにE上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上でa.e.一様収束するという。
従って,今{f_k}がE上で殆ど一様収束するので殆ど一様収束の定義から{f_k}はE上でa.e収束する。
と一行で終わってしまいますがこんなんでいいんでしょうか?
No.1
- 回答日時:
キチンと書くと、
可測空間 E 上の関数列 f_n(x) が、n→∞ のとき、x∈E について一様に収束するなら、
f_n(x) が(単純)収束しない x の範囲は、測度 = 0 であることを示せ。
でしょう。
「 a.e⊂E 」って、いったい何ですか?
遅くなりましてすいません。
a.e.はEから零集合を取り除いた集合を意味しました。よって自動的にa.e.はEの部分集合になるので
a.e.⊂Eと書いてしまいました。
、、、で本題ですが
正確な問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義はですね。
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。
そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,{f_k}はfにE上でa.e.収束する。
0<∀δに対し,λ(E\F)<δで,{f_k}がfにE上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上でa.e.一様収束するという。
従って,今{f_k}がE上で殆ど一様収束するので殆ど一様収束の定義から{f_k}はE上でa.e収束する。
と一行で終わってしまいますがこんなんでいいんでしょうか?
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