三角関数の微分

三角関数の微分でわからない問題があるのですが、

y=√2sin(3x＋(π/4))

わかりづらいですが、(π/4)の部分は分数です。

何故かこの問題だけπがでてきて全然わかりません。
(3x＋(π/4)) ←この部分をuに置き換えて合成関数を使うのでしょうか。

ご教授お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2008/10/08 17:14

日にちが経ったので，もう必要がないかも知れませんが，・・・

y=√2sin(3x＋(π/4))　・ ・ ・ ・ ・(1)

の両辺を x で微分するには，まず，

u=3x+(π/4)　・ ・ ・ ・ ・(2)

とおきます．この(2)式の両辺を x で微分すると，

(du/dx)=3　・ ・ ・ ・ ・(3)

となります．一方，(1)式は，(2)式を用いて

y=√2sin(u)　・ ・ ・ ・ ・(4)

となります．合成関数の微分法は

(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)　・ ・ ・ ・ ・(5)

ですから，(4)式の両辺を x で微分すると，

(dy/dx)=√2cos(u)・(du/dx)　・ ・ ・ ・ ・(6)

です．(du/dx)=3 ですから，結局，

(dy/dx)=3√2cos(3x+(π/4))　・ ・ ・ ・ ・(7)

が答えです．

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/03 20:09

加法定理を使って

sin( 3x＋(π/4) ) = sin(3x) cos(π/4) + cos(3x) sin(π/4)
としても、誰も止めません。
更に、三倍角公式を使うと、
y = 3(sin x) - 4(sin x)^3 + 4(cos x)^3 - 3(cos x)
となります。
(sin x)^3 や (cos x)^3 を微分する個所で、
合成関数の微分は、避けられませんが。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/10/02 21:55

> (3x＋(π/4)) ←この部分をuに置き換えて合成関数を使うのでしょうか。

そうです。u = 3x＋(π/4)と置いて合成関数の微分法を使って下さい。