解けない問題があります

∬[D]ydxdy
D:x^2+y^2<=y

解き方を教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/03 05:06

ANo.1の置換積分でやるなら

∬[D]ydxdy=∬[0≦r≦1/2,0≦θ≦2π]{(1/2)+rsinθ} rdrdθ
=∫[0→2π] dθ∫[0→1/2} {(r/2)+(r^2)sinθ} dr
を計算すれば良いでしょう。

ANo.2の「重心の定義を使えば積分計算をしないで暗算でできる」というのは
∬[D]ydxdy=(重心のy座標)×(Dの半径1/2の円の面積)=(1/2)*(π/4)
として計算するやり方。

出題者の意図は、「真面目に重積分する」、「どんな方法でもいいから積分結果の答えだけ求めよ」のどちらか？なのだろうね。

ANo.1と同様真面目に積分計算をするとして
[別解]
x=rcosθ,y=rsinθと置いて置換積分すれば
D:r^2≦rsinθ　→ 0≦r≦sinθ (0≦θ≦π)
D → E:{0≦θ≦π,0≦r≦sinθ}
であるから
∬[D]ydxdy=∬[E] rsinθ rdrdθ
=∫[0→π] sinθdθ∫[0→sinθ] (r^2)dr
=∫[0→π] sinθdθ(sinθ)^3/3
=(1/3)∫[0→π] (sinθ)^4 dθ
=(1/3)∫[0→π] (1/4)(1-cos(2θ))^2 dθ
=(1/12)∫[0→π] {1-2cos(2θ)+(cos(2θ))^2} dθ
=(1/12)∫[0→π] {1+(1/2)(1+cos(4θ))} dθ
=(1/12)∫[0→π] {1+(1/2)} dθ
=(1/12)(3/2)π
=π/8　...(※)

[別解2]
∬[D]ydxdy=2∬[x^2+y^2≦y,0≦x] ydydx
=2∫[0→1] ydy∫[0→√(y-y^2)] 1 dx
=2∫[0→1] y√(y-y^2) dy
=2∫[0→1] y√{(1/4)-(y-(1/2))^2} dy
y-(1/2)=t/2で置換積分
dy=dt/2,y:0→1⇒t:-1→1
=2∫[-1→1] (1/2)(t+1)(1/2)√(1-t^2) (1/2)dt
=(1/4)∫[-1→1] (t+1)√(1-t^2) dt
=(2/4)∫[0→1] √(1-t^2) dt
=(1/2)∫[0→1] √(1-t^2) dt
t=sin(u)とおいて置換積分
　t:0→1 ⇒ u:0→π/2
　√(1-t^2) dt=|cos(u)|cos(u)du=(1/2){1+cos(2u)}du
なので
=(1/4)∫[0→π/2] {1+cos(2u)}du
=(1/4)∫[0→π/2] 1du
=π/8

(※)と同じ積分結果になりますね。

この回答へのお礼

かなり詳しく解答していただいたので、ベストアンサーとさせていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2013/07/03 16:05

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/03 15:15

計算に耽溺しないで、

事の本質を真面目に考えると、

D の重心の定義は、
∬[D](x,y)dxdy / ∬[D]dxdy
だということです。
分子の被積分関数はベクトル (x,y)、
分母の被積分関数は定数 1 で、
重心は位置ベクトルとして求まります。

これを逆用すると、A No.2 になる。

この回答へのお礼

ご助言ありがとうございます

お礼日時：2013/07/03 16:04

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/03 00:23

積分の値が、

D の重心の y 座標に D の面積を掛けたもの
であることは、解りますか？

あとは、
D が xの2乗+(y-1/2)の2乗≦(1/2)乗 であること
から初等幾何で攻めれば、積分は不要です。

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/07/02 23:23

x=rcosθ, y=(1/2)+rsinθ

0≦r≦1/2, 0≦θ≦2π
として変数変換。