にゃんこ先生の自作問題、1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…の一般項をガウス記号を用いて書くには?

にゃんこ先生といいます。

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか？
a[n]=k
とすると、
第k群の最後の項は、
1+2+…+k=k(k+1)/2
より第k(k+1)/2項にゃので、
(k-1)k/2 ＜ n ≦ k(k+1)/2
をkについて解けばいいのですが、具体的にはどうかけるのでしょうか?

また、
1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/09 17:20

※再訂正

ANo.1の結果
　　Ａn = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
　　　訂正　⇒　Ａn = [(1 + √(8n - 7))/2]

※追加
Excelで確認してみました．第16項まで表示しています．
○1つ目の群数列
n　　(-1 + √(8n + 1))/2　　　(1 + √(8n - 7))/2 　　 Ａn
1　　　　　　1　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　1
2　　　　　　1.562　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　　　　2
3　　　　　　2　　　　　　　　　　　　2.562　　　　　　　　　 2
4　　　　　　2.372　　　　　　　　　 3　　　　　　　　　　　　3
5　　　　　　2.702　　　　　　　　　 3.372　 　　　　　　　　3
6　　　　　　3　　　　　　　　　　　　3.702　　　 　　　　　　3
7　　　　　　3.275　　　　　　　　　 4　　　　　　　　　　　　4
8　　　　　　3.531　　　　　　　　　 4.275　 　　　　　　　　4
9　　　　　　3.772　　　　　　　　　 4.531 　　　　　　　　　4
10　　　　　 4　　　　　　　　　　　　4.772　 　　　　　　　　4
11　　　　　 4.217　　　　　　　　　 5　　　　　　　　　　　　5
12　　　　　 4.424　　　　　　　　　 5.217　 　　　　　　　　5
13　　　　　 4.623　　　　　　　　　 5.424　　 　　　　　　　5
14　　　　　 4.815　　　　　　　　　 5.623　　　 　　　　　　5
15　　　　　 5　　　　　　　　　　　　5.815　　 　　　　　　　5
16　　　　　 5.179　　　　　　　　 　6　　　　　　　　　　　　6

○2つ目の群数列
n　　　log(n + 1)/log2 　　　　　log2n/log2　　　　　　　Ａn
1　　　　　　1　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　1
2　　　　　　1.585　　　　　　　　 　2　　　　　　　　　　　　2
3　　　　　　2　　　　　　　　　　　　2.585　 　　　　　　　　2
4　　　　　　2.322　　　　　　　　 　3　　　　　　　　　　　　3
5　　　　　　2.585　　　　　　　　　 3.322　　 　　　　　　　3
6　　　　　　2.807　　　　　　　　　 3.585　　　 　　　　　　3
7　　　　　　3　　　　　　　　　　　　3.807　　 　　　　　　　3
8　　　　　　3.170　　　　　　　　　 4　　　　　　　　　　　　4
9　　　　　　3.322　　　　　　　　　 4.170　　　 　　　　　　4
10　　　　　 3.459　　　　　　　　　 4.322　　 　　　　　　　4
11　　　　　 3.585　　　　　　　　　 4.459　　 　　　　　　　4
12　　　　　 3.700　　　　　　　　　 4.585　　 　　　　　　　4
13　　　　　 3.807　　　　　　　　　 4.700　　　　 　　　　　4
14　　　　　 3.907　　　　　　　　　 4.807　　 　　　　　　　4
15　　　　　 4　　　　　　　　　　　　4.907　 　　　　　　　　4
16　　　　　 4.087　　　　　　　 　　5　　　　　　　　　　　　5

切り上げの関数を用いれば，左側でも表せますね．

この回答へのお礼

まことにありがとうございます。

お礼日時：2008/10/11 23:19

No.2 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/09 16:02

※訂正

ANo.1の結果にガウス記号[ ]が抜けています．
　　[k] = [(1 + √(8n - 7))/2]
　　Ａn = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]

※追加
数列　1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,…　の場合は
　　Ａn = k (ただし，2^(k-1) ≦ n ≦ 2^(k) - 1 , kは自然数)
ですので，
　　2^(k-1) ≦ n ≦ 2^(k) - 1
をkについて解くと，
　　log(n + 1)/log2 ≦ k ≦ log2n/log2 (底はすべて自然対数)
以下，ANo.1と同様にして
　　Ａn = [log2n/log2]

No.1 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/09 15:43

面白い発想ですね．

求めたいものは，
　　Ａn = k (ただし，(k^2 - k + 2)/2 ≦ n ≦ k(k + 1) , kは自然数)
ですので，仰るように，
　　(k^2 - k + 2)/2 ≦ n ≦ k(k + 1)
を kについて解けばOKです．
実際に解くと，
　　(-1 + √(8n + 1))/2 ≦ k ≦ (1 + √(8n - 7))/2
となります．
したがって，これを満たす自然数kが求めるものです．整数化するためにガウス記号を用いて，
　　[k] = (1 + √(8n - 7))/2
が得られます．
もともと，kが自然数のときは，
　　k = [k]
が成り立つので,
　　Ａn = k = [k] = (1 + √(8n - 7))
となります．