自己相関関数

大学の実験で自己相関関数についてやって、疑問に思ったので質問します。
まず、自分なりに解釈した自己相関関数のことについて書きます。
「あるノイズを含んだ信号を自己相関することで、その中から周期的信号を得る。」と、解釈しているんですが、これは間違っているんでしょうか？
次に、実験のことなんですが、特にノイズを含んでいない三角波を自己相関したところ、三角波の自己相関関数の波形がｘ軸の正に進むほど０に収束していく正弦波の形になりました。
ノイズの中から周期的信号を得ることが自己相関なので、ノイズを含んでいない周期的波形を自己相関しても、元の三角波がでると思っていたんですが、なんで違う波形がでたんでしょうか？
もともとノイズを含んでいない周期的波形を自己相関したらおかしくなるんでしょうか？

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/10/13 03:00

> 「あるノイズを含んだ信号を自己相関することで、その中から周期的信号を得る。

」と、解釈しているんですが、これは間違っているんでしょうか？
間違ってはいないでしょう。

正確には、信号のピークや谷の位置を抽出するのに使われます。
雑音に埋もれた信号を繰り返し送受信する事で、それぞれを相関を取って、相関が最も大きいところで、加えあわせてやると、規則性の無い雑音は加え合わせる雑音混入信号の回数をｎとすると、雑音電力が√nで増加するのに対して、信号電力はn倍になって、加えるnが多くなるほど、雑音に埋もれた信号のSNR（信号対雑音電力比）が改善されます。木星探査衛星ボイジャーと地球の通信基地との交信では、同じ測定信号（木星の画像）を100回繰り返し地球に向かって送信し、受信した信号（元の信号は同一画像信号で宇宙線の雑音に埋もれてしまった微弱な信号）の自己相関を取り、相関の最も大きい時刻を合わせて、加え合わせていくと、鮮明な木星の画像信号が得られるというです。

ノイズの無い信号では、τ=0の時の自己相関関数が信号の平均電力を表します（実際の電力ではなくインピーダンスで規格化された電力です）。

> 正弦波の形になりました。
> なんで違う波形がでたんでしょうか？
三角波の周期関数の場合の自己相関関数は
正弦波ではなく正弦波のような波打つ波形です。
また孤立三角波の場合は滑らかな山型の自己相関関数になります。
音声などの場合はまたsin(x)/xのような波状に減衰する自己相関関数になります。

自己相関関数の定義式から分かるように、τが三角波がほぼ重なる所では三角波の自乗になり、三角波の重なりが無い、あるいは三角波の重なりが少ない所のτでは自己相関関数の絶対値が最も小さくなります。位相が逆になる所では三角波の自乗波形の振幅が正負逆になった波形になります。

> もともとノイズを含んでいない周期的波形を自己相関したらおかしくなるんでしょうか？
おかしくなるのではなく、自己相関関数の定義から明らかなように、
信号の位相が合うτの位置で二乗の積分になって最大、位相が逆のところで振幅が二乗でマイナス符号の積分になって最小になるだけです。それが正弦波のようにみえる自己相関関数の波形になるわけです。

http://www.comb.kokushikan.ac.jp/lecture/envmeas …
http://www.laser.chem.es.osaka-u.ac.jp/study/CrF …
http://www.hp1039.jishin.go.jp/kozo/Mie7/figures …

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1% …

No.1 回答者： chiezo2005 回答日時： 2008/10/13 02:35

周波数成分を求めるフーリエ変換と自己相関関数とは結果は同じものと考えられるのですが，意味が違います。

http://www.ymec.com/hp/signal/acf.htm
にわかりやすい説明があります。

また，完全に周期的な関数の自己相関関数は当然ながら周期的になります。０に収束するというのはちょっとおかしいですね。
ひょっとして周波数成分で見てですか?
このあたり，自己相関関数の理解が違っているように思います。