角度問題

ひし形ABCDがある。AD=AEとなるようにCD上に点Eをとる。
また、点Eと点Bを結ぶ。∠DAE＝40°として、∠ABEを求めよ。
という問題です。

△AEDはAD=AEより二等辺三角形なので、
∠ADE＝∠AED＝70°
また、補助線をAD平行な線を点Eを通るように引いて考えましたが、その後が答えにたどり着きませんでした。
答えは55°なのですが、解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/10/22 13:18

今回求めたいのは∠ABEです。

この角は△ABEの内角です。
なのでこの△ABEについて考えます。

(1)
平行四辺形には、『隣り合う2つの角の和が180°になる』という性質があります。
∠ADC = 70°なので、その隣りの角である∠BADは110°になります
(同様の理由で∠BCDも110°ですが、今回∠BCDは使いません)。

∠BAD = 110°、∠DAE = 40°なので、∠BAE = 70°となります。
これで△ABEの内角のうち、1つの大きさが分かりました。

(2)
ひし形の4辺の長さはすべて等しいので、AB = BC = CD = ADが成り立ちます。
また、問題文中にAE = ADだと書いてあります。

AB = BC = CD = ADとAE = ADから、
AB = BC = CD = AD = AE
つまり平行四辺形の4辺の長さと、AEの長さは同じだということになります。

よって、△ABEにおいてAB = AEとなります。
つまり△ABEも二等辺三角形(AB = AE、∠ABE = ∠AEB)です。

(3)
△ABEの3つの角を使って∠ABEを求めます。
まず、∠ABE = x°とおきます。
(1)より、∠BAE = 70°
(2)より、∠ABE = ∠AEBなので、∠AEB = x°

以上より△ABEの3つの内角は、70°、x°、x°となります。
三角形の3つの内角の和は180°なので、
70° + x° + x° = 180°
となります。あとはこの方程式を解けば、x° = ∠ABEが求められます。