流体力学のベルヌーイの法則についての問い

流体力学の問題で難解なところがあります。よろしかったら、解説をお示しください。→半径６ｍ、高さ５ｍの円筒容器の下に半径０．１ｍ、高さ１ｍの排出管がついた装置がある。いま、この排出管が下向きの状態で装置はある。この装置内に、粘性を無視できる流体を満杯に入れた。このとき、流体が最上部から３ｍ降下するまでの時間はいくらか？ただし、流体の密度を６〈kg/㎥〉、重力加速度を９．８<m/s^2>、大気圧は一定とする。

答えが、300秒くらいになるというのですが、どうもたどり着きません。

自らの考えとしては、排出口下端の速度をベルヌーイの式から算出して、流量を求めて…　または、　装置の上端から３ｍ降下地点まで、ベルヌーイの式をたてて、速度を微分形にして微分方程式を解く…　この２つの方針でとける気がするんですが…　どうもうまくいきません。どなたかお願いしますm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： masa2211 回答日時： 2008/12/20 08:31

＞速度を微分形にして微分方程式を解く…

実務上は、それでは面倒なだけで余り意味が無いので別方法をとります。
（微分方程式を解くのが間違っているわけではないが、数秒かわるかどうかという違いしか生じない。）
初期流量と最終流量を出して、その平均流量で全時間流出するとして計算します。
流量＝√(gh)*Aだから、
初期流量：Q=√（9.8*6）*0.1*0.1*π =0.24m3/s
最終流量：Q=√（9.8*3）*0.1*0.1*π =0.17m3/s
あとは、容積を平均流量で割れば終り。
くそまじめに微分方程式を解かなくても充分な近似解になります。
充分な近似解と思えないなら、たとえば水位50cmで輪切りにして時間を計算し、足し合わせます。
そうやった結果は、1650秒。　でも答は300秒。　うん？
もしかして、流量を求めるとき、√(ρgh)*Aと計算していませんか？
こうすれば275秒となり、答と合うけど....
ρが増えると圧力が増えるけど、流れにくさも増えるから、結局ρには影響されません。
ですので、これは計算間違いであり、300秒という答は変。

あと、演習問題では以下のことまで求めていないと思います（もうしばらくしてから習うことになります。）が、
管を1ｍ流れるための摩擦損失と、容器から管へ入る部分の流入損失があります。
今回は管が1ｍと短いので摩擦損失は無視できるとしても、流入損失は無視できません。
容器から管に移るところに丸みやテーパーがついていればまだしもなのだけど、
そういうのが無い場合、流量は理論値（ベルヌーイの式で単純計算）の2/3くらいまで落ち込みます。
つまり、1650秒でなく2300秒。

流体力学では、以下のページを参照してください。

小形オリフィスの、「縮流」「流量係数」
または
管路の損失係数のうち、入口損失

表現はだいぶ違いますが、同じ現象を指しています。

もう1つ、排出管頂部が負圧になるかどうかの確認も必要ですが、今回は関係なさそうなので省略します。

No.2 回答者： okormazd 回答日時： 2008/12/20 15:53

流管のエネルギー収支は下記ベルヌーイの定理。

u1^2/2+gZ1+P1/ρ1+W=u2^2+gZ2+P2/ρ2+F
u1,Z1,P1,ρ1: 流管の一端での流速、高さ、圧力、密度
u2,Z2,P2,ρ2: 流管の他端での流速、高さ、圧力、密度
W:ポンプなどで流体に与えられるエネルギー
F:摩擦などによるエネルギー損失
質問では、W=0、F=0(粘性を無視できる流体)です。
また、タンクの水面、排出管が大気圧に開放であれば、P1=P2、
流体が液体ならばρ1=ρ2、
タンク液面の断面積S1と出口の断面積S2を比較して、S1>>S2から、
u1=0としてよい。
したがって、
gZ1=u2^2/2+gZ2

Z=Z1-Z2
u=u2
とすれば、
Z=u^2/(2g)
u=√(2gZ)

一方、タンクの液面がdZだけ低下するのに要した時間をdtとすれば、
流出する体積は等しいから、
S1dZ=-S2udt
S1dZ=-S2√(2gZ)dt
dZ/√(Z)=-(S2/S1)*√(2g)dt

液面がh1からh2まで低下するのに時間がt1からt2になったとして
積分すると、
2*(h1^(1/2)-h2^(1/2))=-(S2/S1)*(2g)^(1/2)*(t1-t2)
t2-t1=2*(h1^(1/2)-h2^(1/2))*(S1/S2)*(2g)^(1/2)

与えられたデータを代入して解くと、1167[s]
「300秒くらいにな」んかならない。

文字化けしているところがあって、
「流体の密度を６〈kg/㎥〉」
が何のことかわからないが、6[kg/L]なら普通の流体じゃないし。

「半径６ｍ、高さ５ｍの円筒容器の下に半径０．１ｍ、高さ１ｍの排出管がついた装置」
これも不明確だ。排出管の排出口からタンクの液面までの高さはどれほどなのか。
4[m]か5[m]か6[m]なのか、排出管の高さが1[m]なのか、長さのことを言っているのか。タンクの高さが5[m]で排出管の高さが1[m]なら、その差は4[m]だが。

いずれにしても、「300秒くらいにな」んかならない。

摩擦があるとすると、試算法じゃなければ解けない。

はじめの高さが5[m]でも6[m]でも摩擦がないとしたときの流速のままで液面を3[m]低下させるのに要する時間がすでに
300秒をはるかに超えていないか。