数学の問題の過程

直線x+7/2=y+8/2=z-3/-1を含み、点(1,1,2)をとおる平面の方程式をax+by+cz=5（a,b,cは定数）と表すとき、a b cをそれぞれ求めよ

という問題を友達と解きあってみたのですが、
私はx+7/2=y+8/2=z-3/-1=ｋでおいてxyzをすべてkであらわし、
友達は、x=y+1 z=y+2/-2としてax+by+zc=5に代入して解いていったのですが、
どちらの答えも違う値になってしまいました。

これは、どちらの方でといたのが正しいのでしょうか?
二人とも数学は苦手なので、考え方が違うのであれば、それも
ご指摘していただけたら幸いです。

No.1 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/01/09 16:38

kを使っても、yを使っても式の形がちょっと異なるだけで、平面の方程式から、f(a,b,c; kまたはy) = 0 の一次式になるだけです。

これからa、b、cを求めるためには三つの条件を当てはめて、a、b、cだけの一次式を三つ作る必要があります。問題は三つの条件に何を用いてどう適用したか、です。その過程が書かれていないので、どこでどう間違ったのかを指摘することはできません。
問題文からすぐにわかる条件は、
１．平面は、直線を含むので直線方向のベクトルに平行。
２．平面は、直線を含むので直線が通る定点を含む。
３．平面は、定点(1、1、2)を含む。
の三つです。
この三つを正しく適用すれば正しい答えが出ます。

補足にどのようにしてどういった答えになったのかをどうぞ。

この回答への補足

1)y=x-1 z=-(x+1)/2として
ax+by+zc=5に代入すると
a*x+b*(x-1)-c*(x+1)/2=5
(x,y,z)=(1,1,2)なのでx=1を代入すると
a-c=5

2)x=y+1 z=-(y+2)/2として
ax+by+zc=5に代入すると
a*(y+1)+by-c*(y+2)/2
(x,y,z)=(1,1,2)なのでy=1を代入すると
2*z+b+3/2*c=5

3)x=-2z-1 y=-2-2zなので
ax+by+zc=5に代入すると
a*(-2z-1)-b*(-2z-2)+c*z=5
(x,y,z)=(1,1,2)なのでz=2を代入すると
-5z*a-6z*b+2c=5

4)(x,y,z)=(1,1,2)から
ax+by+zc=5に代入すると
a+b+2c=5

1)2)3)4)を解くと
a=25/3 b=20/3 c=10/3

となりました
No.3さまの回答とはまったく違っていますが、
どこがいけなかったのでしょう?

補足日時：2009/01/09 21:35

No.2 回答者： felicior 回答日時： 2009/01/09 17:19

点(1,1,2)を含むという条件は、平面の式に代入するだけですね。

しかし直線を含むという条件は、お二人のどちらの方法で代入しても
kかyが残ってしまいますね。
これはどういうことかというと・・・
直線は点の集まりでできていますので、kやyの値を変えると
直線上のいろいろな点を表すことができるということなのです。
直線がすっぽり平面に含まれているということは、
直線上のどんな点も平面に含まれている必要があるので、
どんなkまたはyについても成り立つ式、つまり恒等式を解くことになります。
kまたはyで整理して係数比較するとa,b,cについての式が二つできると思います。
つまりお二人のどちらの方法でもできます。

この回答へのお礼

どちらも考え方はあってたってことですネ(^-^;
それに、あんまり理解してなかったところもわかった気がします
ありがとうございました

お礼日時：2009/01/11 15:28

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/01/09 17:31

>私は(x+7)/2=(y+8)/2=(z-3)/(-1)=ｋでおいてxyzをすべてkであらわし、

直線の方程式の媒介変数表現：
(x+7,y+8,z-3)=k(2,2,-1)…(A)
この上の点(x,y,z)はすべて
平面の方程式：
ax+by+cz=5…(B)
を満たす。
なので、
k=4のときの点P(1,0,-1),
k=3のときの点Q(-1,-2,0)
も(B)上にあることからこれらの座標を(B)代入して、
a-c=5…(C)
-a-2b=5…(D)
また点R(1,1,2)も平面(B)上にあるから、この座標を代入して
a+b+2c=5…(E)
(C),(D),(E)を連立にしてa,b,cを求める。

>友達は、x=y+1, z=(y+2)/(-2)としてax+by+zc=5に代入して解いていったのですが、
x=y+1…(1)
z=(y+2)/(-2)…(2)
(1),(2)がセットで直線の方程式になります。
>に代入して解いていった
解いていった過程が書いてないのでコメントできません。
ax+by+zc=5…(3)
(1),(2)をそのまま(3)に代入してもyが何を意味するか定かでありません。
(1),(2),(3)はそれぞれ平面の方程式です。
(1),(2)の交線が平面(3)上にあるということだけで、代入操作が何の目的で行っているか、わかりません。
なので代入の意味がありません。
(1),(2)で2通りの適当なy=0,y=-2を与えて、x,zを求めて、直線上の対応する2点
P(1,0,-1),Q(-1,-2,0)
を決め、その2点が平面(3)上にあること、
また点R(1,1,2)も平面(B)上にあるから、
これらの3点の座標を平面の式代入して
やれば
a,b,cについて、あなたと同じ連立方程式が出来て
(a,b,c)の解と一致します。

(a,b,c)=(7,-6,2)

以上から、あなたの解答（書いてないのであっているかどうか不明）
と友人の解答（書いてないのであっているかどうか不明）が正しいかチェックして見てください。

[ポイント]
平面を確定には、平面上の異なる3点が与えられれば、必要十分です。
平面の一般式に3点を代入すれば、一般式中の2つの定数が確定できます。

この回答へのお礼

間違い指摘していた大でありがとうございました
何ともお恥ずかしいです1orz
回答ありがとうございました

お礼日時：2009/01/11 15:27

No.4 ベストアンサー 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/01/10 01:59

補足には、

＞私はx+7/2=y+8/2=z-3/-1=ｋでおいてxyzをすべてkであらわし、
のやり方が書いていませんが、どうやったのでしょうか？　No.3さんのように k を与えて解いたと推測します。
kは直線のパラメータなので、これをkではなくx、y、zのひとつをパラメータとしても、同じやり方ができます。例えば x、zをyで表して平面の方程式に代入し、yに適当な２値を与えて式二つをたて、点(1,1,2)を通る条件とあわせて解くわけです。kでもx,y,zのひとつであっても、それは任意の値をとれるパラメータとみなすのだということに注意してください。

さて、補足にある解き方ではx、y、zそれぞれを直線のパラメータとして平面の方程式に代入してそれぞれ式を立てています。これはそれぞれのパラメータ表示で、点が直線上を動くときに平面に含まれているということを表したものです。
1)で x=1 を与えたのは、y=0、z=-1、つまり直線上の点(1,0,-1)を平面の方程式に代入したことになり、a-c=5、
2)で y=1 を与えたのは、x=2、z=-3/2、つまり直線上の点(2,1,-3/2)を平面の方程式に代入したことになり、2a+b-(3/2)c=5
3)で z=2 を与えたのは、x=-5、y=-6、つまり直線上の点(-5,-6,2)を平面の方程式に代入したことになります。-5a-6b+2c=5
(ちなみに補足の2)は間違っています。)
従って、補足ではそれぞれ、「(x,y,z)=(1,1,2)なので○=1を代入すると」と書いてありますが、意味を間違えています。
必要なのは 1),2),3)のうちどれか二つ(どれでもよい)で、三つ全部はいりません。その二つと4)でa,b,cが求まります。答えは(a,b,c)=(7,-6,2)です。検算してください。

さて、No.3さんや質問者様のやり方は、

(1) 直線上の2点と、平面上の定点(1,1,2)を3条件として求める。

という方法です。従って、質問者様の補足にあるようにわざわざパラメータの式を代入してから定点の座標値を与えるのは非効率です。まず適当な2点を直線上に選び、その座標値を代入するのが早くて簡単です。パラメータがkであろうがx,y,zのひとつであろうが同じことです。２点の座標値を直線の方程式に従って求めればよいのです。そのため、x、y、ｚ座標のどれかひとつが必ず0になるような点を選べば、平面の方程式に代入した後のa,b,cの表式が簡単になります。この問題では(0,-1,-1/2),(1,0,-1),(-1,-2,0)のうちの2点ですね。

ところで、この問題では直線が平面に含まれるという条件だけでは、直線の回りで平面が回転できるので、その自由さをなくし平面を固定するために直線上にない一点を通る条件が与えられています。直線は２つの定点で決定できますから、平面は３点で決定できることになり、上の解法はそれを用いたわけです。
しかしまた、直線は別の二つの条件、1定点と直線に平行なベクトルによっても決定でき、与えられた直線の方程式はまさにそれそのものです。つまり、直線 (x+7)/2=(y+8)/2=(z-3)/-1 は定点(-7,8,3)を通り、ベクトル(2,2,-1)に平行です。これらと点(1,1,2)でも平面は決定できます。

(2)直線上の定点および平行なベクトルと、平面上の定点を用いて求める。

No.1で書いた3条件はこのことです。
平行ベクトルは平面にも平行なので、平面に垂直なベクトルに直交します。平面の方程式から垂直なベクトルは(a,b,c)です。直交条件は内積が0になることです。よって、
ア) 内積、(a,b,c)・(2,2,-1) = 2a+2b-c = 0
イ) 直線上の定点(-7,8,3)、 -7a+8b+3c=5
　　(他の点でもよい、例(1,0,-1)、a-c=5)
ウ) 平面上の定点(1,1,2)、 a+b+2c=5
これら３式から解決します。このようなことはすでに学習していますね？

最後に、No.2さんの方法について述べておきましょう。
パラメータは kでもx,y,zのうちの一つでもどれでも良いですが、今kを用いると、
x=2k-7、y=2k-8、z=-k+3
これを平面の方程式に代入して整理すると、
(2a+2b-c)k -7a-8b+3c-5 = 0
kは任意の実数なので、これはkについての恒等式です。従って、
2a+2b-c = 0、-7a-8b+3c = 5
これらを上のア)、イ)と比べると同じであることがわかりますね。つまり第一式はベクトルの直交条件であり、第二式は直線上の定点を通る条件です。
そうなるのは、直線の方程式をベクトル表示すると良くわかります。
r = kv + d
ベクトル r = (x,y,z) ; 直線上の任意の点の位置ベクトル
ベクトル d = (-7,8,3) ; 直線上の定点の位置ベクトル
ベクトル v = (2,2,-1) ; 直線に平行なベクトル
これは直線のパラメータkによる式をベクトルにまとめたものです。
一方平面に垂直なベクトル n = (a,b,c) とおくと、平面の方程式は、
n・r = 5 (ax+by+cz=5)
従って、 r = d + kv の両辺と n の内積をとれば、
n・r = k(n・v) + n・d = 5
これが、(2a+2b-c)k -7a-8b+3c = 5　に対応しています。
n・v = 0 (平面に垂直なベクトルと直線に平行なベクトルの直交)
なので、これが
2a+2b-c = 0
です。また、k(n・v) + n・d = 5　に n・v=0 を代入すると、
ｎ・d = 5
です。これが
-7a-8b+3c = 5
に対応しています。
以上のように、パラメータ表示して恒等式の条件を使うのは、ベクトルの直交条件と定点の２条件を用いることと全く同じことであることがわかりますね。

この回答へのお礼

なるほど、よくわかりました。
今度友達に教えてみます。
ベクトルを使うのは何となく難しそうですが
頑張ってみます
ありがとうございました

お礼日時：2009/01/11 15:26