出産前後の痔にはご注意!

天文学関係の本を読んでいると、
「ガンマ線バーストの残光は、時間に対してベキ関数で減光する」
という文の直後に、
「自然現象で時間のベキ関数に従うものはとてもめずらしい。」
「たいていの自然現象は指数関数で表せるのに…(例:放射性同位体の減衰の様子)」
といったことが書かれていました。
私は、ベキ関数と指数関数は同じものだと根拠もなしに思っていましたが、どうやら違うようでした。

ベキ関数と指数関数の違いを教えてください。

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A 回答 (5件)

nを自然数、kを実数、xを変数としたときに


  f(x) = k*(x^n)
の形に書けるのが冪関数(ベキ関数)。

aを正の実数、xを変数としたときに
  g(x) = a^x
の形に書けるのが指数関数。
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指数関数をべき級数で表すと無限級数になりますが、べき関数と言うのはべき級数とは違い、通常は t を変数、 a を定数として t^a を言います。

従って Σ[n≦M]a[n]t^(-n) (Mはある定数)のように振舞うものもべき関数と呼んだとしても項の数Mは有限です。べき関数の項の和の関数では t の大きなところで支配的になる項があり、それを t^(-m) の項とすればその自然対数は -mlog(t) のように振舞います。
一方指数関数は e^(-at) のように書け、自然対数をとると -at のように振舞います。
自然対数で比較すると大きな時間のところで指数関数は時間に対して直線的に減少するのに対し、べき関数は -mlog(t) で減少するので指数関数に比べ長い裾を引くことになります。小さな時間のところでべき関数が指数関数より急速に減少しても、大きな時間のところでは指数関数よりゆっくり減少するわけです。
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#2です。


減光する・・・減っていく。
冪のほうは x  x^2 x^3ではなく、反比例。
冪級数 ・・・反比例 1/x , 1/x^2,・・・・
       グラフのx^(-n)n=1,2,3
指数関数のほうは指数部が負・・・e^(-kx)
       グラフの水色のライン 10exp(-x)を書いてみた。

グラフは下に添付できるかな?
「ベキ関数と指数関数の違い」の回答画像4
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青がべき関数(t^2)


赤が指数関数(2^t)
増加がケタ違い!
「ベキ関数と指数関数の違い」の回答画像3
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●「時間に対してベキ関数で『減光する』」


 この、『減光する』に注目すると・・・『負の冪』ではないでしょうか?
 a/t + b/t^2 + c/t^3 + ・・・・・・
 この場合、指数関数よりはるかに早く0に収束します。

 指数関数のtayler展開は次のように指数部が負になっていても、
 exp(-kt)=1 + (-kt) + (1/2!)・(-kt)^2 + (1/3!)・(-kt)^3 +・・・・
 =1 - (kt) + (1/2!)・(kt)^2 - (1/3!)・(-kt)^3 +・・・
 こう考えると違いが出てきます。指数関数はプラスマイナスが打ち消しあって収束していくので、負の冪に比べれば結構ゆっくり振舞うと思うのですが・・・。
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Qべき乗

べき乗とは一体なんですか?
ウィキを見ても理解できませんでした。
2の2乗は2×2ですが、
2のマイナス2乗は一体どのような式なのですか?

Aベストアンサー

算数の延長線上だけの概念だけだといまいち理解出来ないですよね。
べき乗って要は指数なんですけど、
そういう難しい話を出来るだけ捨てて、算数の世界で説明出来る位まで掘り下げて説明します。

例えば 10の2乗は100、10の3乗は1000となります。
これを数字の動きに目を合わせてもう一度、書いてみます。
00010.00000 ←これを2乗すると↓
00100.00000 //10という値が左に1つずれた結果が答え

00010.00000 ←これを3乗すると↓
01000.00000 //10という値が左に2つずれた結果が答え

こういう風に表す事が出来ます。
じゃあ、10のマイナス2乗ってなった場合はどうなるのかというと、
00010.00000 ←これを-2乗する↓
00000.01000 //10という値が右に3つずれた結果が答え

という答えになります。
1を基準点として、右や左にいくつずれるか。
これがべき乗なのです。


で、2のべき乗を考えた時は、
全部2進数で考える必要があります。
00010.00000 ←2進数で表した数値の2
00100.00000 ←2乗した結果。数値で言うと4
00010.01000 //-2乗した結果。数値で言うと0.25


これで何となく分かっていただけたでしょうか?
ちなみに37のx乗を計算するみたいな時があったとしたら、
それは37進数で考えるという計算が必要になるのです。

算数の延長線上だけの概念だけだといまいち理解出来ないですよね。
べき乗って要は指数なんですけど、
そういう難しい話を出来るだけ捨てて、算数の世界で説明出来る位まで掘り下げて説明します。

例えば 10の2乗は100、10の3乗は1000となります。
これを数字の動きに目を合わせてもう一度、書いてみます。
00010.00000 ←これを2乗すると↓
00100.00000 //10という値が左に1つずれた結果が答え

00010.00000 ←これを3乗すると↓
01000.00000 //10という値が左に2つずれた結果が答え

こういう風...続きを読む

Qベキ関数

ベキ乗関数とは何ですか。

サイトなどを教えてもらえてください!!

すごく困っています。

Aベストアンサー

べき乗関数の一般式
y=ax^b
(xをb乗してa倍した値を返す関数)

Qスティーブンスべきの法則について教えて下さい。

こんにちは。
以前フェフィナーの法則を教えていただきました。
今度はスティーブンスのべき法則というのがよくわかりません。
べきってなんですか?
数学的なことが多分わかってい何んだと思います。
そこらへんから教えていただけると大変助かります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

すでに詳しい回答が寄せられていますが,
数式の部分について私なりに説明してみますね。

べき法則の「べき」は漢字では「冪」と書き,累乗のことを指します。
心理学の教科書でよく見かける冪法則の式は,
   E=k*I^n  (k,nは定数)
ここで * は乗算,^n は n乗,すなわち冪を表わします。
これを高校までの数学の流儀で書くなら,
   y=a*x^b  (a,bは定数)
となります。
この関数のグラフはどのようなものになるでしょうか。

前提として
スティーブンスの冪法則では x も y も正の範囲だけ考えればよいので,
座標平面の第1象限にだけ注目します。
また a と b についても正の値だけを想定すればよいでしょう。

グラフの形は b の値によって大きく変わります。
【1】b=1 のとき。
b に 1 を代入すると,式は
   y=a*x
となりますから,これは正比例です。

【2】b>1 のとき。
たとえば b=2 ならば
   y=a*x^2
となって,これは2次関数。
同様に b=3 なら3次関数,b=4 なら4次関数・・・となり,
いずれも第1象限では右上がりに急激に増大するグラフとなります。

【3】0<b<1 のとき。
たとえば b=1/2 ならば
   y=a*x^(1/2)
これは x の平方根に比例するということですから,
先の2次関数のグラフを y=x (右上がり45°の直線)について対称移動させたものとなります。
(参考:http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CGraph3.html)
同様に b=1/3 なら3乗根,b=1/4なら4乗根・・・となり,
いずれも第1象限では右上がりで増加率がしだいに低減するグラフとなります。


以上をまとめて言葉で表現すると,
マグニチュード推定法によって得られる心理量の変化は
感覚モダリティや刺激の種類によってさまざまで,
【1】刺激に比例して増大するもの
【2】刺激が増大するにつれて急激に増大する(だんだん敏感になる)もの
【3】刺激が増大するにつれてゆるやかに増大する(だんだん鈍感になる)もの
があるということです。

実験データによれば
目で見た線分の長さ(b=1.0),腕における冷たさ(b=1.0)は【1】,
塩辛さ(b=1.3),指への電撃の強さ(b=3.5)は【2】,
サッカリンの甘さ(b=0.8),単耳での音の大きさ(b=0.3)は【3】
ということになります。

フェヒナーの法則はこのうちの【3】の近似ということで
スティーヴンスの冪法則に包摂されていると見ていいでしょう。

すでに詳しい回答が寄せられていますが,
数式の部分について私なりに説明してみますね。

べき法則の「べき」は漢字では「冪」と書き,累乗のことを指します。
心理学の教科書でよく見かける冪法則の式は,
   E=k*I^n  (k,nは定数)
ここで * は乗算,^n は n乗,すなわち冪を表わします。
これを高校までの数学の流儀で書くなら,
   y=a*x^b  (a,bは定数)
となります。
この関数のグラフはどのようなものになるでしょうか。

前提として
スティーブンスの冪法則では x も y も正...続きを読む

Q対数変換する意味?

私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか?対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか?
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか?

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。(また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。)

Aベストアンサー

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

このように表現すると、正の数値で1以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数(または0.00000・・・・のように非常に小さい数)
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
(厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数)

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q「累乗」と「べき乗」

「累乗」と「べき乗」、現在の数学の授業ではどちらの言い方がよく使われていますか? 

Aベストアンサー

私の数学の授業(高校)では、「べき乗」は一切使用していません。友人からも「べき乗」という言い方は、聞いたことがありません。
「累乗」が現在多く使われてるのでは、ないでしょうか。

Qスティーブンスの法則とは何ですか?マグニチュード推定法とスティーブンスの法則がごちゃ混ぜになってしま

スティーブンスの法則とは何ですか?マグニチュード推定法とスティーブンスの法則がごちゃ混ぜになってしまってよく分かりません。マグニチュード推定法を用いて出された法則がスティーブンスの法則ですか?
フェヒナーの法則のより優れている点について聞かれた場合、スティーブンスの法則の方がより沢山の刺激間の関係を式に表す事ができる点ですか?
心理学部一回生です。
助けて下さいm(_ _)mよろしくお願いしますT^T

Aベストアンサー

マグニチュード推定法 Richter, Charles F., 1935年1月「An instrumental earthquake magnitude scale」
フェヒナーやスティーブンスが活躍した時期は、、、
感覚と刺激の二つの関係を示そうとするのと、地震が発するエネルギーの大きさを示す手法を工夫するのと、、、、 関係がない

フェヒナーの法則は、「(刺激Aと刺激Bに関する)心理的な感覚量は、刺激の強度ではなく、その対数に比例して知覚される」

スティーブンスの法則は、「刺激の種類によってべき乗に掛かる係数が違う(同じ種類の刺激ならば、刺激エネルギーの大きさのべき乗と係数で、感覚を量的に示せる)」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%81%AE%E3%81%B9%E3%81%8D%E6%B3%95%E5%89%87

実際にイヤフォンで同じ音楽を聴いていても、周囲の環境や音楽の種類で、イヤホンから出て来る音の大きさの感覚は、非常に違うと、私は感じています。 周囲の明るさでものの視覚的識別・認知が変わるのも確かです。 刺激エネルギーの物理的大きさと数式で「感覚量を示せる」とはとても思えないです。 たぶん、スティーブンスの法則は間違っているか、スティーブンスの法則には多くの条件が欠けているのだと私は思います。

マグニチュード推定法 Richter, Charles F., 1935年1月「An instrumental earthquake magnitude scale」
フェヒナーやスティーブンスが活躍した時期は、、、
感覚と刺激の二つの関係を示そうとするのと、地震が発するエネルギーの大きさを示す手法を工夫するのと、、、、 関係がない

フェヒナーの法則は、「(刺激Aと刺激Bに関する)心理的な感覚量は、刺激の強度ではなく、その対数に比例して知覚される」

スティーブンスの法則は、「刺激の種類によってべき乗に掛かる係数が違う(同じ種類の刺激ならば、刺激エネ...続きを読む

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q温度を上げた時のpHについて

温度を上げるとルシャトリエの原理より吸熱反応の方向、水の電離が進行する方向に平衡が移動するので、溶液中の水素イオンが増加し、pHは小さくなる。

これだけだと納得できたのですが、

中性の水溶液のpHの値は温度が高くなると小さくなる。

がどうもしっくり来ません!

水素イオン濃度=水酸化イオン濃度だと中性、
平衡が移動したら水素イオンだけでなく水酸化イオンも同じ分だけ増えるのだから、たとえ温度を上げても中性なのでは・・・?

とごちゃごちゃ考えている間に分からなくなってしまいました(´;ω;`)

どう解釈したらいいのか教えていただけると嬉しいです

Aベストアンサー

温度が高くなると水分子の解離が進んで水素イオン濃度も水酸化イオン濃度も高くなります。したがって水の温度が高くなっても中性です。しかしながらその中性の時の水素イオン濃度だけを見れば温度が高くなれば高くなるのですからpHの値は低くなっていきますね。
25℃の時の中性のpHは7.00ですが40℃の時の中性のpHは6.77となります。
中性の定義とpHの定義は全く別と考えればよいでしょう。


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