ベキ関数と指数関数の違い

天文学関係の本を読んでいると、
「ガンマ線バーストの残光は、時間に対してベキ関数で減光する」
という文の直後に、
「自然現象で時間のベキ関数に従うものはとてもめずらしい。」
「たいていの自然現象は指数関数で表せるのに…（例：放射性同位体の減衰の様子）」
といったことが書かれていました。
私は、ベキ関数と指数関数は同じものだと根拠もなしに思っていましたが、どうやら違うようでした。

ベキ関数と指数関数の違いを教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/03/16 19:22

nを自然数、kを実数、xを変数としたときに

　　f(x) = k*(x^n)
の形に書けるのが冪関数(ベキ関数)。

aを正の実数、xを変数としたときに
　　g(x) = a^x
の形に書けるのが指数関数。

No.5 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/03/17 00:59

指数関数をべき級数で表すと無限級数になりますが、べき関数と言うのはべき級数とは違い、通常は t を変数、 a を定数として t^a を言います。

従って Σ[n≦M]a[n]t^(-n) (Mはある定数)のように振舞うものもべき関数と呼んだとしても項の数Mは有限です。べき関数の項の和の関数では t の大きなところで支配的になる項があり、それを t^(-m) の項とすればその自然対数は -mlog(t) のように振舞います。
一方指数関数は e^(-at) のように書け、自然対数をとると -at のように振舞います。
自然対数で比較すると大きな時間のところで指数関数は時間に対して直線的に減少するのに対し、べき関数は -mlog(t) で減少するので指数関数に比べ長い裾を引くことになります。小さな時間のところでべき関数が指数関数より急速に減少しても、大きな時間のところでは指数関数よりゆっくり減少するわけです。

No.4 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/16 22:11

＃２です。

減光する・・・減っていく。
冪のほうは　ｘ　　ｘ＾２　ｘ＾３ではなく、反比例。
冪級数　・・・反比例　１/ｘ　，　１/ｘ＾２，・・・・
　　　　　　　グラフのｘ＾（－ｎ）ｎ＝１，２，３
指数関数のほうは指数部が負・・・e＾（－ｋｘ）
　　　　　　　グラフの水色のライン　１０exp（－ｘ）を書いてみた。

グラフは下に添付できるかな？

No.3 回答者： gatch_ky 回答日時： 2009/03/16 21:07

青がべき関数(t^2)

赤が指数関数(2^t)
増加がケタ違い!

No.2 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/16 20:33

●「時間に対してベキ関数で『減光する』」

　この、『減光する』に注目すると・・・『負の冪』ではないでしょうか？
　a/t + b/t^2 + c/t^3 + ・・・・・・
　この場合、指数関数よりはるかに早く０に収束します。

　指数関数のｔａｙｌｅｒ展開は次のように指数部が負になっていても、
　exp（-ｋｔ）＝1　+　(-kt)　+　(1/2!)・(-kt)^2　+　（1/3!)・（-kt)^3　+・・・・
　＝1　-　(kt)　+　(1/2!)・(kt)^2　-　（1/3!)・（-kt)^3　＋・・・
　こう考えると違いが出てきます。指数関数はプラスマイナスが打ち消しあって収束していくので、負の冪に比べれば結構ゆっくり振舞うと思うのですが・・・。