半円筒の重心

半径R、厚さtの半円筒の重心位置（中心からの高さ）は
どのような値になるかを教えていただきたく、
書き込ませていただきました。

出来れば、算定根拠も教えていただけると幸いです。
宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： felicior 回答日時： 2009/03/21 02:57

重心の「高さ」ということは、半円筒はトンネルのように伏せてあるわけですね。

トンネルの長さ方向は重心の高さに関係ないので、断面の平面図形の重心を考えます。
(大半円から小半円をくりぬいた形。勝手に“半円環”と名付けます。)
また、勝手ながら半径Rは外径と解釈して、内径はR-tとします。

平面図形に関して、図形を細かく分けたそれぞれの面積をdS、図形外に固定した直線
からの距離をyで表すと、重心の位置[y]は次の式を満たすものとして定義されます。
∫ydS＝[y]∫dS　　…◎

今回の問題に当てはめると、トンネルの断面内で、路面との交線(半円環の直径)
方向をx軸とし、中心から高さ方向にy軸を取れば、重心の高さは[y]となります。

右辺の∫dSは単純に半円環の面積ですから、(π/2){R^2－(R－t)^2}、
左辺の積分はy＝r*sinθと極座標変換すると、dS＝r*drdθ、
積分範囲は綺麗にr＝R－t～R、θ＝0～πとなりますから、
∫ydS＝∫∫r^2*sinθ*drdθ
＝(∫r^2*dr)×(∫sinθ*dθ)
＝(2/3){R^3－(R－t)^3}

よって、◎式より
[y]＝(4/3π){R^3－(R－t)^3}/{R^2－(R－t)^2}
と求まります。ちなみに
t→0(薄肉の極限)で、[y]→(2/π)R≒0.637*R
t→R(厚肉の極限)で、[y]→(4/3π)R≒0.424*R
となるようです。


積分する代わりにちょっと工夫することもできます。◎式の両辺に2πを掛けると
∫2πydS＝2π[y]∫dS
となり、(詳細は割愛しますが)これは
(x軸で図形を回転した体積)＝(その時重心が回転する距離)×(図形の面積)
と解釈できます。これを「パップス・ギュルダンの定理」といいます。

問題に当てはめて考えると、x軸(半円環の直径)を回転軸として半円環を一回転
させれば球殻（球から同心球をくりぬいた立体）になりますから、定理より、

(半円環を回転してできる球殻の体積)＝(半円環の重心の回転距離)×(半円環の面積)

という具合に球の体積の公式が使えるので、以下のものを代入すれば積分を一切
使わず同じ結果が出ます。

球殻の体積＝(4π/3){R^3－(R－t)^3}
半円環の重心の回転距離＝2π[y]
半円環の面積＝(π/2){R^2－(R－t)^2}

この回答へのお礼

勉強になりました。
感謝です！ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/24 01:26

No.1 回答者： loop-loop 回答日時： 2009/03/20 23:51

問題の意味がよくわからない点があるので確認のためお尋ねします。

寸法のとりかたは、添付図のようなとりかたでよいでしょうか？
ちなみに、ｈは重心の高さです。

この回答への補足

説明が少なくて申し訳ございません。
上図のイメージでよろしいです。
宜しくお願いいたします。

補足日時：2009/03/22 16:26