n角形の重心を求めるアルゴリズム

Question

平面2次元のn角形の頂点のデータがあります。n点の座標ですから(x,y)がn個並んでいます。そのような図形の図心（重心）の座標を計算するアルゴリズムがないでしょうか。最終的にはプログラムとして離散的な処理をするため、１％ぐらいの誤差は許容範囲です。n角形と言ってもせいぜいn=3,4,5,6程度です。

欲を言うと、３次元も考えており、平面に含まれることが分かっているn個の点（３次元空間内）を平面の２次元空間に変換して重心を求め、それを３次元空間に引き戻せば３次元での重心となります。そのためにも２次元での重心の座標を求めるアルゴリズムが必要なのです。

よろしくお願いします。

arrysthmia · Accepted Answer

ｎ角形の頂点を、辺を一周する順に番号付けて P[k],　k = 0,1,2,…,n-1 とします。

図形を分割すると、重心は、分割された各部品の重心を、各部品の面積で加重平均
したものになりますから、同じ平面内に点 Q をとって、
△QP[k]P[k+1],　k = 0,1,2,…,n-1 （ただし P[n] は P[0] の別名とする）
の重心 (Q + P[k] + P[k+1]) / 3 を、△QP[k]P[k+1] の面積を重みとして
加重平均すればよいことになります。Q は、P[n-1] を採用してかまいません。

その際、△QP[k]P[k+1] がｎ角形の中にあるか外にあるかに従って、面積に正負を
付けて扱う必要があるため、面積 △QP[k]P[k+1] = (1/2)|↑QP[k]×↑QP[k+1]| の
替わりに、絶対値をつけない ↑QP[k]×↑QP[k+1] そのものを重みとして扱うほうが
便利でしょう。スカラーの計算で済ますために、ｎ角形が乗っている面に平行でない
ベクトル V をひとつ固定して、↑QP[k]×↑QP[k+1]・V を重みにすれば、尚よい。
外積との内積だから、スカラー三重積ですね。平面の方程式が既知ならば、その
法線ベクトルが V として使えるし、そうでなければ、V = ↑QP[0]×↑QP[1] と
してもよいです。

以上まとめると…
Q = P[n-1] とする。
V = ↑QP[0]×↑QP[1] とする。
k = 0,1,2,…,n-3 の夫々について、
　　X[k] = (Q + P[k] + P[k+1]) / 3 と
　　w[k] = ↑QP[k]×↑QP[k+1]・V を求める。
重心は、(Σ w[k] X[k]) / (Σ w[k]) である。

← No.1
順序付けの自動化は、原理的に無理でしょう。
頂点の集合が同じでも、順序付けが異なると、ｎ角形は別のものになる訳ですから。

gatch_ky · Answer

公式を即席で作りました。

0=(0,0)
a=(a1,a2)
b=(b1,b2)
c=(c1,c2)
として
ベクトルa,b,cが時計と反対まわりとする。
三角形0,a,bの重心g(0,a,b)と面積S(0,a,b)
重心・・・g(0,a,b)=(a+b)/3
面積・・・S(0,a,b)=(a×b)/2=(a1*b2-a2*b1)/2

四角形0,a,b,cの重心は
(S(0,a,b)*g(0,a,b)+S(0,b,c)*g(0,b,c))/(S(0,a,b)+S(0,b,c))

n角形でも同じ

noname#101087 · Answer

一例です。

　http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/Geometry/PolygonMoment-jp.html#Problem
>多角形の面積，重心(図心)，断面Ｎ次モーメントの公式 ......

頂点座標の順序付けをしておくと、あとの勘定が楽チンなのですね。
順序付けの「アルゴ」も探せばありそう ..... 。

n角形の重心を求めるアルゴリズム

ｎ角形の頂点を、辺を一周する順に番号付けて P[k], k = 0,1,2,…,n-1 とします。

公式を即席で作りました。

一例です。

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