３で割れる数字が理解できません。

Question

３で割りきれる数の数字の部分を足すと必ず３で割れる数字になると言う事が理解できません。

例えば
１５３　・・・・　（３で割ると５１）この答えはいいとして

１５３の百の桁、十の桁、１の桁の数字を足すと

１＋５＋３＝９

答えが必ず３で割りきれる数字になると言う事が理解できません。

例
３４５６９　３で割って１１５２３
３＋４＋５＋６＋９＝２７

７４２７４　３で割って２４７５８
７＋４＋２＋７＋４＝２４


理解できそうで出来ないです・・・・・
又、当てはまらない数字はでてくるのでしょうか？

kenjoko · Accepted Answer

a,b,c,...,mを自然数とする

[1]二桁の自然数　10a+b　が　３の倍数　ならば

10a+b=3m　とおける

この両辺から9aを引いて

a+b=3m-9a=3(m-3a)

m-3aは自然数（必ずm-3a＞0となる）であるから

10の位aと1の位bの和が３の倍数である二桁の自然数は３の倍数である。


[2]三桁の自然数　100a+10b+cが　３の倍数　ならば

100a+10b+c=3m　とおける

この両辺から99a+9b を引いて

a+b+c=3m-99a-9b=3(m-33a-3b)

あとは[1]と同様

※任意の桁で成り立つことがわかる。

※９の倍数を調べる場合も適用できる。

やっかいなのは７の倍数の調べ方である。これも中学のとき、やった記憶がある。是非、チャレンジして下さい。


感想：調べ方を用いて３の倍数を判定できる者はたくさんいるが、調べ方に疑問を持つ者は少ない。その点でこの質問は非常に良い質問である。

uyauyauya · Answer

まず、前提として、3で割れる数（3の倍数）は3×自然数と表すことができます。

自然数とは、1,2,3,4,5,6,7,8・・・のこと、言い換えると正の整数のことです。

自然数といちいち書くのが面倒くさいので、自然数をｎという文字で表すことにします。

だから、3で割れる数を3×ｎとあらわします。

ここで、とりあえず2桁の整数について考えても見ましょう。

2桁の整数の十の位を○、一の位を△とすると、2桁の整数は○×10＋△と表せます。（たとえば、23は2×10＋3ですよね）。そこで、○の変わりにｒ、△の変わりにｓを使うとすると、2桁の整数はｒ×10＋ｓになります。かけるの記号を省略すると10ｒ＋ｓになります。ここで、各位の数（ｒとｓ）の和（足し算すると）3の倍数になると言うことは、ｒ＋ｓが3×自然数（面倒くさいので3×aだから3a）と表せます。

ここで、2桁の整数、10ｒ＋ｓをこう分解します。

10ｒ＋ｓ→9ｒ＋ｒ＋ｓ→9ｒ＋（ｒ＋ｓ）→9ｒ＋3a→3×3r＋3a
→3×3ｒ＋3×a→3（3ｒ＋a）

ここで、3ｒ＋aは自然数（最初に断らなかったけど、使っている文字は全部整数と言う意味ね）だから

3（3ｒ＋a）は3×自然数になるので、3の倍数と言うことになります。

これで2桁の整数については説明できましたね。

3桁の整数は、100ｂ＋10ｃ＋ｄ→99ｂ＋ｂ＋9ｃ＋ｃ＋ｄ→99ｂ＋9ｃ＋b＋c＋ｄ→3（33ｂ＋3ｃ）＋（b＋c＋ｄ）に変形して、各位の数の和（ｂ＋c＋ｄ）が3の倍数のときそれを3×自然数（3×ｆ）におきかえて

3（33ｂ＋3ｃ）＋3ｆ→3（33ｂ＋3ｃ＋ｆ）というように変形すれば説明できます。

4桁以上の場合も、同じようにしていけばいいのです。

ところで、いままで使った文字は適当にアルファベットを使っただけで、アナタの好きな文字にしてもいいですからね。

どうでしょう？

sanori · Answer

こんばんは。

それより簡単なのが、
「各桁の数字の和が９の倍数ならば、９で割り切れる」
です。
実は、これを先に考えるのが、「３で割り切れる」を理解する近道です。


ある自然数の、１の位の数字をａ0、１０の位の数字をａ1、１００の位の数字をａ2・・・
と置けば、
元の数　＝　ａ0×１　＋　ａ1×１０　＋　ａ2×１００　＋　・・・
　＝　ａ0×１０^0　＋　ａ1×１０^1　＋　ａ2×１０^2　＋　・・・
　＝　Σ（ａn×１０^n）
　＝　Σ（ａn×１）　＋　Σ｛ａn×（１０^n － １）｝
　＝　Σａn　＋　Σ｛ａn×（１０^n － １）｝
（ａnは、０以上の整数）
（ｎ＝０～＋∞）

ところが、１０^n から１を引くと、必ず９だけが並んだ自然数（ただし、ｎ＝ゼロのときだけはゼロ）になります。
＜例＞
１０^2　－　１　＝　１００　－　１　＝　９９
１０^7　－　１　＝　１０００００００　－　１　＝　９９９９９９９

これらは、必ず９で割り切れますよね。

つまり、上の式における
（１０^n － １）　は、９の倍数です。
ですから、
ａn×（１０^n － １）　も、９の倍数です。


したがって、

元の数　＝　Σ（ａn）　＋　９の倍数

と表すことができてしまいます。
ですから、各桁の数字の合計 Σ（ａn）も９で割り切れれば、

元の数　＝　９の倍数その１　＋　９の倍数その２
　　　　＝　９の倍数その３

となって、元の数も９で割り切れます。

これで、「９で割り切れる」の説明は完了です。

-----------------------

各桁の数の和である　Σａn　が９で割り切れなくても、３で割り切れれば、

元の数　＝　各桁の数の和　＋　Σ｛ａn×（１０^n － １）｝
　＝　Σａn　＋　９の倍数
　＝　３の倍数その１　＋　９の倍数
　＝　３の倍数その１　＋　３×（３の倍数その２）
　＝　３の倍数その３

となり、元の数は３で割り切れます。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

Quattro99 · Answer

10=9+1
100=99+1
1000=999+1
……
というのを利用して証明されます。
例えば54は、50+4=5(9+1)+4=5*9+5+4であり、5*9は3で割り切れますから、5+4が3で割り切れるかどうかを考えれば全体が3で割り切れるかどうかがわかります。
ですので、当てはまらない数字（自然数）はありません。

３で割れる数字が理解できません。

a,b,c,...,mを自然数とする

まず、前提として、3で割れる数（3の倍数）は3×自然数と表すことができます。

こんばんは。

10=9+1

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