高校数学II　三角関数　ラジアンって何？

Question

三角関数の単元でラジアンという単語が出てきます。
そもそも、そのラジアンという言葉の意味が分からず、次の問題に困っています。

次の値を求めよ。
（１）sin 21/4π
（２）cos (－11/3π)
（３）tan (－19/6π)

分数の入力の仕方が分からないので見にくいとは思いますが、分かる方よろしくお願いします！！

info22 · Accepted Answer

ラジアンは
角度の単位の１つ
で小中学校以来習ってきた角度は
度数法の単位を習ってきました。「度数法」は直線と直線のなす角の一回りの角度を360等分した角度で一回りが360°、その1/360を1°とする単位です。

高校で微分、積分を習うと、これまでの度数法角度では、積分や微分に不都合なので、新たに「弧度法」の角度の単位を定義して使うことが行われます。
弧度法の角度の単位がラジアン（radian, radと略して使う）です。弧度法では２つの直線の成す角を交点を中心に半径１の円を描き、２直線が切り取った円弧の長さをラジアン単位の角度とします。直線が一回りの角度は半径１の円周の長さですから半径r=1とした円周の長さ2πr=2πをラジアン単位の角度と定義しています。つまり１回りの角度は2π[ラジアン]です。
2π[ラジアン]＝360°ですね。
相互の単位の変換はこの比で比例配分して変換します。
分数の書き方は以下を参考にして行って下さい。
分子/分母
と斜線(スラッシュ/)を使って書きます。
分数の後に何かを書ける場合は分数を括弧()で囲んでください。

30°＝2π*30/360[rad]＝π/6[rad]
π/2[rad]=360*(π/2)/(2π)[°]＝90°
ということです。通常[rad]の単位は省略されます。
詳しくは下記URLを読んでください。教科書や参考書にも載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6

2π=360°,π=180°と考えて、後はどんどん使って使って慣れて下さい。

ヒント)
(1)sin((21/4)π)＝sin((21/4)*180°)
　＝sin945°＝sin225°
　＝-sin45°＝　←あとは分かりますね。

(2)cos(-(11/3)π)＝cos((11/3)π)＝cos(4π-π/3)
　＝cos(π/3)＝cos(180°/3)
　＝cos60°＝　←あとは分かりますね。

(3)tan(-(19/6)π)＝-tan((19/6)π)＝-tan(3π+π/6)
  ＝tan(π/6)＝tan(180°/6)
　＝tan30°＝　←あとは分かりますね。

info22 · Answer

#3です。
A#1の補足について
>f(x)=x^2
これは「xの2乗（自乗）」のことです。
> これの、
>^←この記号は何ですか！？
「^」この記号の後に来るのは指数部（べき乗の数値）ということを表します。
例）
x^3 … xの3乗
x^(1/2)　… xの(1/2)乗、つまり　√x　のこと
x^(-2) … 1/(xの2乗)

R_Earl · Answer

円周の長さを使って角度を表したのがラジアンです。
例えばある分度器の1°の目盛の部分の弧の長さが1mmだとします。
その分度器の弧30mmは30°を表しますよね。
このように円周の長さをそのまま角度に直結させることができます。

ラジアンの場合、半径1の円の周の長さをそのまま角度にします。
なので1周360°が、そのまま円周1周の長さである2πと対応します。
つまり360° = 2πラジアンです。

2πラジアン = 360°なので、両辺を2で割ると
πラジアン = 180°です。
同様に、両辺に色々な数をかけたりわったりしていくと、
何ラジアンが何度になるかが分かります。
例えばπラジアン = 180°の両辺を6で割ると、
π/6ラジアン = 30°であることが分かります。

> （１）sin 21/4π

(21/4)πが何度か分かればsin (21/4)πが計算できます。
いきなり(21/4)πを求めるのが大変なので、
まず(1/4)πが何度になるか求めます。
これは先ほどのπラジアン = 180°の両辺を4で割れば簡単に求まりますよね？
計算すると(1/4)πラジアン = 45°となります。

次に(21/4)πが何度かを求めます。
先ほど作った(1/4)πラジアン = 45°の両辺を21倍すれば、
(21/4)πラジアンが何度か分かります。
計算すると(21/4)π = 945°となります。
よってsin (21/4)π = sin 945°なので、
後はsin 945°が何になるかを考えれば良いです。
180°を超すsin値の求め方は分かりますか？

proto · Answer

ラジアンとは、三角比で習った"角度"のようなもの。
だがその正体はただの"実数"。

説明のために
　　f(x) = x^2
という関数を考える。
f(x)にx=1を代入すると、
　　f(1) = 1
f(x)にx=-2を代入すると
　　f(x) = -2

このようにf(x)はxにいろいろな"実数"を代入することで値を求めることが出来る。
また横軸にxを、縦軸にf(x)を打って線でつなげばグラフを描くことも出来る。
このとき、横軸の1目盛りと縦軸の1目盛りは同じ長さにするのが自然だ。


これと同じ事を
　　g(x) = sin(x)
で考えたい。
三角比の単元までで習ったsin(x)は、
x=0°のとき
　　g(0°) = sin(0°) = 0
x=30°のとき
　　g(30°) = sin(30°) = 1/2
のようにxに"角度"を当てはめることで値を求めることが出来る。

では、xに"角度"ではなく"実数"を代入したかったらどうだろう。
例えばx=1を代入すると？
　　g(1) = sin(1) = ？
このときのx=1とは1°のことなのだろうか？
逆に、先ほどのf(x)に"角度"を代入したらどうだろう。
例えばx=30°を代入すると？
　　f(30°) = (30°)^2 = ？
このように"実数"と"角度"は全く同じものではないように思える。
例えば30°=30としていいのか？これには疑問が残る。
sin(x)のグラフを描くときも、横軸の目盛り(1°)と縦軸の1目盛り(1)を同じ長さにするのが自然だろうか？

しかしf(x)もg(x)も同じ関数なのに、代入する物が"実数"と"角度"で違う物では不便だ。
だいからsin(x)などの三角関数に"角度"を当てはまるのではなく、"ラジアン"という名の"実数"を当てはめることを考えた。
xラジアンとは、半径が1で弧の長さがxの扇形をその中心角の広がりの事だ。
逆に中心角がxラジアンで半径が1の扇形を描いたら、弧の長さはxになる。

簡単な数字で"角度"と"ラジアン"を変換してみるとわかりやすい。
中心角が30°で半径が1の扇形を描くと弧の長さはπ/6になるから、30[°]=π/6[ラジアン]ということになる。
中心角が90°で半径が1の扇形を描くと弧の長さはπ/2になるから、90[°]=π/2[ラジアン]ということになる。
中心角が360°で半径が1の扇形を描くと弧の長さは2πになるから、30[°]=2π[ラジアン]ということになる。
(つまり円一週が2π[ラジアン]だ)

ちなみにここで突然登場した半径1の円(またはその一部として扇形を考えることもある)は単位円と呼ばれる。
"角度"と"ラジアン"をつなぐ一番基本的な道具だ。

これから数学を勉強していく上で30°きざみの角度でのラジアンは暗記しておいて損はない。
0°,30°,60°,90°,120°,150°,180°はそれぞれ、
0,π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,πになる。


ここで注意が必要なのだが、高校まででよく使うラジアンの角は大抵、□πという形になるから、ラジアンの単位はπなのだと勘違いする人が居る。
例えは360[°]は2[πラジアン]なのだと思っているらしい。
しかし、ラジアンの角にπが登場したときそれは単に円周率π=3.1415926535...にすぎない。
つまり
　　30[°] = π/6[ラジアン] = 0.523598776...
　　3600[°] = 2π[ラジアン] = 6.28318531...
にすぎない。
"ラジアン"とはあくまでもただの"実数"だ。
だから三角関数を"ラジアン"で考えるとは、三角関数にただの"実数"を当てはめて考えることだ。

例えば1[ラジアン]は約57.3[°]だから
　　g(1) = sin(1) = sin(57.3) = 0.679522618...
だし、
30[°]はπ/6[ラジアン]だから
　　f(30°) = (30°)^2 = (π/6)^2 = 0.274155678...
である。
しかし、普通はただの関数に"角度"を当てはめることはしない。

高校数学II 三角関数 ラジアンって何？

ラジアンは

#3です。

円周の長さを使って角度を表したのがラジアンです。

ラジアンとは、三角比で習った"角度"のようなもの。

この回答への補足

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