物理の問題(摩擦力とモーメント)

長さLの不透明な細いパイプの中に、質量mの小球1と質量2mの小球2が埋め込まれている。パイプは直線状で曲がらず、その口径、および小球以外の部分の質量は無視できるほど小さい。また小球は質点とみなしてよいとし、重力加速度はgとする。これらの小球の位置を調べるために次の実験を行った。

まず、図1に示したように、パイプの両端A,Bを支点a,bで水平に支え、両方の支点を近づけるような力をゆっくりかけていったところ、まずbがCの位置まですべって止まり、その直後に今度はaがすべり出してDの位置で止まった。パイプと支点の間の静止摩擦力係数、および動摩擦係数をそれぞれμ,μ'として以下の問いに答えよ。


問1 bがCで止まる直前に支点a,bにかかっている,パイプに垂直な方向の力をそれぞれN(a),N(b)とする。
このときのパイプに沿った方向の力のつり合いを表す式を書け。

問2 ACの長さを測定したところd_1であった。パイプの重心が左端Aから測ってlの位置にあると
するとき、重心のまわりの力のモーメントのつり合いを考えることにより、d_1をl,μ,μ',を用いて表せ。

問3 CDの長さを測定したところd_2であった。摩擦係数の比μ'/μをd_1,d_2を用いて表せ。

問4 上記の測定から重心の位置lを求めることができる。lをd_1,d_2を用いて表せ。

問5 さらに両方の支点を近づけるプロセスを続けると、どのような現象が起こり、最終的にどのような状態になるか。理由も含めて簡潔に述べよ。

この問題で
1の答えはμN(a)=μ'N(b)

2の答えはd_1=(μ+μ')l/μ

3の答えは支点aがDで止まる直前では、問1とは逆に、支点bでの摩擦力が最大摩擦力となっている。問1,2と同様に考えて、μ'N'(a)=μN'(b)
力のモーメントのつり合いよりN'(b)(d_1-l)-N'(a){l-(d_1-d_2)}=0
2式と2の答えからμ'/μ=d_2/d_1

4の答えは質問には関係ないので省略します。

5の答えは支点aと支点bで、最大摩擦力と同摩擦力が交互に入れかわる。μ'＜μより、支点aが動き出すときは、N(a)＜N(b)であり、bのほうが重心に近い。逆に、支点bが動き出すときは、aの方が重心に近い。このように、この操作を繰り返すと、a,bは交互に互いに逆向きに重心に近づき、やがて重心の位置で一致する。

まずお聞きしたいのが、支点bが動いて静止した後はもう支点bに力は加えていないのですよね？

この解答で理解できないのが3と5の解答なのですが、
問題文から支点bが静止した直後に支点aが動き出すことから、確かにbが静止する直前にはaには最大摩擦力が働いているというのは理解できます。
問題文にはaが動いて静止した直後にbが動き出すとは書かれていません。
しかし、3の解答では支点bでは最大摩擦力が働くと書かれています。
なぜ支点bでも最大摩擦力が働くとわかるのですか？

問題文に書かれているのはbが動き、静止した直後にaが動き出すと書かれているだけですよね？
aが動き、静止した直後にbが動き出すと書かれているのならば3,5の内容は理解できるのですが、bで働く摩擦力は最大摩擦力ではないかも知れないのではないですか？

なぜ、解答のように言えるのかを詳しく教えていただけないでしょうか。

またもう一つだけ簡単な質問をしたいのですが、例えば長さLの棒をA,Bの二人で支えるとします。重心が棒の左端からL/2の位置にあるとします。
Aが棒の左端を、Bが左端から101L/200の位置を持ったとすれば、Bのほうがより重い力で持たなければなりませんよね？

わかる方がいらっしゃいましたらこれらについて詳しく教えていただけると助かります。

No.6 ベストアンサー 回答者： ywkc 回答日時： 2009/05/12 12:53

こんにちは。

面白い問題ですね。

>しかし、3の解答では支点bでは最大摩擦力が働くと書かれています。
>なぜ支点bでも最大摩擦力が働くとわかるのですか？

それは支点bが止まっているからですよね。
どうして止まってしまうのか？

それを理解するには、仮想的に、支点a,bが両方とも動いている状況を考えたら良いと思います。
両方とも動いていたら、パイプを支えている力Nの大小関係（比）がそのまま摩擦力の大小関係になって、重心に近い方の支点にかかる摩擦力の方が大きいことになります。
摩擦力はそのままパイプにかかる力になりますから、その合力の向きは、重心に近い支点から重心に向かう向きになります。
それで、重心は重心に近い支点から遠ざかろうとします。
それがひとつ。
また、重心に近づけば近づくほど、支点がすこし動いただけでその支点にかかる力が大きく変化します。
（重心からの距離rと摩擦力Fの関係からdF/drを計算してみてください。）
それで、重心に近い支点は少し動いただけでどんどん大きな摩擦力をうけることになって、結局止まってしまのでしょう。
それがもうひとつ。
というわけで、両方の支点が動いている状況が不安定だからなのでしょうね。

>またもう一つだけ簡単な質問をしたいのですが、例えば長さLの棒をA,Bの二人で支えるとします。重心が棒の左端からL/2の位置にあるとします。
>Aが棒の左端を、Bが左端から101L/200の位置を持ったとすれば、Bのほうがより重い力で持たなければなりませんよね？

そのとおりだと思います。

No.5 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/10 00:22

すいません。

「ゆっくり」の意味ですが、
＞加速度０
ではなくて、
速度０
の間違いでした。

「速度０」じゃ動いてないじゃん、と思いそうそうですが、物理では、「準静的過程」といって、常につりあいを保ちなが速度０のまま（無限の時間をかけて）「ゆっくり」動かすということをよく考えます。

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/09 23:31

よく考えると、

・支点ａと支点ｂにかける力の大きさは、常に同じ
ていう前提は不要でした。これは前提ではなくて、以下のように、加速度０の状態を維持すれば、必然的にそうなりますね。

問題文の肝は、
「両方の支点を近づけるような力をゆっくりかけていったところ」
ですね。
「ゆっくり」というのは、物理での慣用句でして、正確な意味は、
「加速度０」ということです。
この場合だと
パイプ本体、支点ａ、支点ｂ、ともに常に加速度０の状態を維持する
ということです。

No.3 回答者： cfv21 回答日時： 2009/05/09 19:06

どうして支点bが静止してしまうのでしょう？確かに不思議ですね。

出題者に聞いてみないとわかりませんが、「パイプを動かすほどの力をかけない」とか「静止摩擦になったら支点を動かすほどの力をかけない」というような前提が必要なのかも知れません。

支点bがパイプに及ぼす動摩擦力μ'Nbは、支点bが重心に近づく間に、支点bにかかる荷重が増すので、次第に大きくなり、支点aが滑り出す瞬間に支点aでの最大静止摩擦力μNaに達して、その後ちょっとでも支点bが重心に近づく方向に動けば、支点bの動摩擦力μ'Nbは、μNaを上回ってしまいます。
支点aが滑り出してしまうと、支点aがパイプに及ぼす摩擦力は動摩擦力μ'Naに変わりますが、μ＞μ'なので、μNa＞μ'Naであって、滑り出した瞬間に支点aがパイプに及ぼす摩擦力は小さくなってしまいます。
支点bが動摩擦力のままだとすると、支点bが左向きにパイプを押す力はμNaよりも大きく、支点aが右向きにパイプを押す力はμNaよりも小さい、ということになり、パイプに水平方向に働く力がつり合いようがなくなってしまいます。「力をゆっくりとかける」という問題文の指定は、この時点で支点bの力を弱めて支点aがパイプに及ぼす動摩擦力につり合う力を加える(つまり支点bは静止摩擦)、と考えるべき、ということになるのでしょうか？

そもそも、最初の時点で、垂直抗力の小さい方の支点だけが動く、としているということは、支点aが滑り出すときには、支点aでの垂直抗力Naの方が小さいので、支点bは静止していると考えよ、ということでしょうか？

No.2 回答者： cfv21 回答日時： 2009/05/09 13:43

>まずお聞きしたいのが、支点bが動いて静止した後はもう支点bに力は加えていないのですよね？

支点bが動いて静止した後に、bに支点を近づける方向に力を加えるのをやめてしまうと、支点aからパイプに右方向の動摩擦力が加わるので、支点bで静止摩擦の状況にあるなら支点bごとパイプが右に動いてしまうことになります。つまり、支点bが動かないように、bにも左方向に力を加え続けているのです。支点bに加えているこの力が、支点aが近づくにつれて次第に大きくなり、支点aが止まる直前に最大静止摩擦力に達します。

>問題文にはaが動いて静止した直後にbが動き出すとは書かれていません。
しかし、3の解答では支点bでは最大摩擦力が働くと書かれています。
なぜ支点bでも最大摩擦力が働くとわかるのですか？

問題文に、aが静止した後でbが動きだす、とは書かれていませんが、支点bで最大静止摩擦力に達してしまうと、支点bのところでパイプと支点bの間が滑り始めてしまうので、支点bが(左向きの力を加えているので)動きだします。
また、支点bで最大静止摩擦力に達していなければ、支点bでは滑り出さずに静止したままなので、支点aはどんどん右に動き続けます。支点aが止まった、ということは、支点bで最大静止摩擦力に達して支点bが滑り出す、ということなのです。
この問題は、簡単に実験して再現させることができます。割り箸か鉛筆2本で、消しゴムなどを乗せた物差しを支えて、近づく方向に力をかけてみてください。かわるがわる割り箸が動きます。

>Aが棒の左端を、Bが左端から101L/200の位置を持ったとすれば、Bのほうがより重い力で持たなければなりませんよね？

Bが左端から101L/200の位置をもったとすればBの方が大きな力で支えなければいけません。重心に近い方が滑りにくい、ということになります。

この回答への補足

回答をしていただきありがとうございます。

お尋ねしたいのが、最初の操作で、支点bを動かし地点Cまで動いた。
このときμN(a)=μ'N(b)が成立しますよね。
さらに力を強くすれば、最大摩擦力より力が大きくなりaが動き出しますよね。
なぜこのときbが静止するのでしょうか？
bが静止してしまうのがいまいち理解できません。

補足日時：2009/05/09 16:03

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/09 13:36

＞まずお聞きしたいのが、支点bが動いて静止した後はもう支点bに力は加えていないのですよね？

違います。支点bにも支点aに加えている力（具体的には動摩擦力と同じ大きさの力）を加えています。

「パイプの両端A,Bを支点a,bで水平に支え、両方の支点を近づけるような力をゆっくりかけていったところ」
ていう、問題文には、たしかにどう力をかけているか、ちゃんと書いてはありませんが、
・支点ａと支点ｂにかける力の大きさは、常に同じ
っていう前提が隠れている、っていうのは、物理の問題としても、日常的な日本語の感覚としても、まあ妥当だと思いますが。

その問題文を、好き勝手に自由に支点ａと支点ｂにかける力を変えていたら、そもそも問題になりませんし。
極端な話、支点ａが動いている途中のどっかで、支点ａにかける力を０にすれば、支点ａはその場で（重心の位置とは無関係に）止まってしまいますね。