回帰分析を勉強しているのですが,非線形回帰分析が何なのか分からなくて困っています.
線形回帰モデルは
Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + … + bp*Xp
で与えられますが,この場合の線形とはパラメータに関して線形という
意味であって,
Y = b0 + b1*lnX

Y = b0 + b1*X1 + b12*X1*X2 + b22*X2^2
も線形回帰モデルに含まれると聞いたのですが,
だとすると非線形回帰分析とはどのようなモデルを想定することを言うのでしょうか?どなたか教えて頂けるとありがたいです.

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A 回答 (3件)

> 線形とはパラメータに関して線形という意味



 それがすべてです。そうでないものはすべて非線形。別の言い方をすれば「モデルをどのパラメータ(たとえばb1)で偏微分しても、そのパラメータ(b1)が式から消えてしまう」のなら線形であり、そうでなければ非線形です。
 モデルが線形であれば、連立一次方程式の問題に帰着できて簡単にイッパツで解ける。非線形ならそうは行かなくて、反復計算で近似解を改良していくという解き方しかできない。なので線形・非線形の区別が重要なんです。
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Y = α + βX^2というモデルは書き換えればY = α + βX * Xとなるわけですから、これはXとXの交互作用(いや、厳密に言えば交互作用ではないのだけれど)と考えれば重回帰モデルとして解析することができます。

だから線形回帰モデルに含まれるというわけ。

ただ、確かに多項式モデルは非線形モデルでもあります。しかし、原則として非線形モデルとして解析するよりも、線形モデルとして解析したほうがはるかに推定精度がよいので、多項式モデルは線形モデルの1つとされるわけです。

非線形モデルには累乗モデルY = aX^b、指数モデルY = ab^X、ロジットモデルY = a / (1 + b*exp(-cX))、ゴルペンツモデルY = ab^exp(-cx)などがあります。
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f(x)=a/[b^2-x^2] + c x + d



とか。
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