重複順列の解き方が分かりません

(問)８人の生徒を、Ｐ，Ｑ，Ｒ３つの部屋に分ける。この時、何通りの分け方があるか。ただし空き部屋は作らないものとする。

もし空き部屋があってもいいなら8の3乗でいいと思うんですが(多分)、空き部屋を作らない場合はどうやって解けばいいんですか。

分かる方は教えてください。
お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： KitCut-100 回答日時： 2009/05/12 22:44

こんばんは,

順列組み合わせの考え方の問題は幾種類もの考え方があります。
今回の問題場合の一つの回答（考え方）を示します。

まず空き部屋を許容した場合の数ですが、これは重複順列で考えます。
つまり 空き部屋(A,B,C)を重複を許して8人に割り当てると考えると重複順列となり 3^8となります。(8^3ではありません。）

つぎに明け部屋を作り場合の数を数えます。
1)Aが空き部屋になる場合(BCは空き部屋ではない).
AとBが空き部屋の場合は, Cにみんながいますのでこの場合の数は
1です。 よって AとBが空き部屋は 1, AとCが空き部屋が 1 合計 2
よって
2^8 -2
です。
2)Bが空き部屋になる場合(ACは空き部屋ではない).
2^8 -2
3)Cが空き部屋になる場合(ABは空き部屋ではない).

4) AとBが空き部屋
1
5) BとCが空き部屋
1
6) CとAが空き部屋
1

よって答えは

3^8 -3x(2^8-2)-3 = 5796

となります

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/12 22:20

再びお邪魔します。

ちょっと、うっかりしましたが、
先ほどの回答は、８人の生徒は区別できない（同じ球）という前提で書いていました。

しかし、普通、人間の場合は区別しますね。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/12 22:00

こんばんは。

これはですね、
こう考えるとよいですよ。

８個の球が１列に並んでいます。
●●●●●●●●

次に、
球の間に２つの仕切りを入れて、３つに分けます。
たとえば、
●｜●●●｜●●●●
といった具合です。
この２つの仕切りが、Ｐ、Ｑ，Ｒ　という隣り合う３つの部屋の仕切りだと思えばよいのです。
この例の場合は、Ｐに１人、Ｑに３人、Ｒに４人です。

すると、仕切りを入れることが可能な場所は、７箇所あります。
７箇所の中から、２つの仕切りを入れる場所を選べばよいです。
（無論、２つの仕切りは同じところには入れません）

ということは・・・！？


以上、ご参考になりましたら幸いです。