積分の定義

独学で勉強しています。
微分が一通り終わって、積分に入ったところでつまづきました。

微分の場合は、導関数の定義
　lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h
を使って、log(x), sin(x), e^x などの導関数を求めることが出来ました。

積分に入ったところで、教科書では
　lim_{Δx→0}Σf(x_k)Δx
のような式が出ていて、x_k は a から b までを n 個に分割していました。
細い長方形に分割して面積を計算しているというイメージを
式にしたものだというのはなんとなくわかったのですが、
a とか b は定数になっていると思います。

微分のときとは違って積分で出てくるのは関数にはならないのでしょうか？
そもそも私が定義だと思っている式が間違っていますか？


添付画像の計算は2週間悩んだ結果、よくわからないままにやってみた計算です。
a～b を n 個に分割しているので
　x_k = a + (b-a)/n × k
にしてみました。
あとは3行目から f(x)=x としてどんな結果が出るのか試しています。

何がわかっていないのかわからない状態なので、
うまく質問文がまとまらないですが、
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/16 16:29

積分｛a-->b}f(x)dx　を「定積分」といいます。

これに対して「上限ｂ」を変数ｘに変えたもの
積分｛a-->ｘ}f(x)dx　を「不定積分」といいます。

下限はこの場合あまり重要ではなく（微分すると定数は０になるので）、不定積分を微分したとき元の関数ｆ（ｘ）に戻るように不定積分を求めることを「ｆ（ｘ）の原始関数を求める」と言います。原始関数は定数の部分は確定していませんので、定数が違えば違ってきますが、みな微分すれば元のｆ（ｘ）に戻ります。これをふつう人はｆ（ｘ）を「積分する」といいます。この定数は＋Ｃと書いて「積分定数」と呼びます。その定数は問題の条件（初期条件、境界条件など）によって具体的な問題で決定しますが今はただの定数でいいのです。

例として、ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｎとしますと（ｎは－１を除きます）、
ｆ（ｘ）の積分はＦ（ｘ）＝ｘ＾（ｎ＋１）／（ｎ＋１）＋Ｃ
となります。一度、Ｆ（ｘ）を微分して確かめてください。

この回答への補足

お二人に教えていただいたおかげで随分と見通しが立ったような気がします。

いろいろ調べたところ、定積分が本当に存在するかというきちんとした証明は、
微分のところで後の課題に残したε-δ法というものをやるときに
一緒にやってみようと思います。

今回は答えていただきありがとうございました。

補足日時：2009/05/19 20:08

この回答へのお礼

ありがとうございます。

どうも「定積分」と「不定積分」があることもよくわかっていなかったようです。
微分と積文が逆になっていることも、いろいろな関数で確認してみたいと思います。

お礼日時：2009/05/19 20:06

No.4 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/15 06:30

No.3のAkira_Ojiです。

数学は積み重ねが必要な学問です。

区分求積法は基本的には、面積を求めるための方法です。
質問者さんがされたのは、ｙ＝ｘの下にある面積（x=a, x=bとx－軸で囲まれる台形の面積：上底＝a,下底＝b、横になってますが高さが（b-a）の台形の面積です。）
｛上底＋下底｝X（高さ）/2
＝｛a+b}x(b-a)/2）
＝(b^2-a^2)/2
＝b^2/2-a^2/2

これは面積という「定数」ですが、ちょっと考え方を変えて、b-->x
というふうに「定数」bを「変数」xのように考え直します。すると、貴方の区分求積法の答えは
ｘ^2/2-a^2/2
となります。すなわち、ｙ＝ｘの下の面積（aからxまでの台形）は
S(x)=ｘ^2/2-a^2/2
となります。これは定数というよりは関数になっています。質問者さんは微分はできるので、S(x)をｘで微分してください。第２項は定数ですが、第１項はｘの関数ですから、微分すると残るものがあります。
微分するとｘになりますね。微分してｘに戻る関数がｘの「積分」なのです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

この回答への補足

申し訳ないのですが、あと少しだけお付き合いください。

b-->x とすると面積は S(x)=ｘ^2/2-a^2/2 になりましたが、
a-->x とすると面積は S(x)=b^2/2-x^2/2 になって、
これを微分すると -x になってしまいます。

こうなった原因は
b を x に変えた場合は、x を増やすと面積も増えるが、
a を x に変えた場合は、x を増やすと面積が減るから
-x になったと考えました。
あっていますでしょうか？

あと、積分結果を関数のように考えるときは
大きいほうの文字（今の例で言う b）を x に変えるのは
決まりか何かがあるのでしょうか？

補足日時：2009/05/15 20:14

この回答へのお礼

ありがとうございます。

よくわかりました。
計算すると定数が出てきたというより、
a と b を定数だと考えるから、
囲まれる面積が固定されていただけで、
変数と思えば計算結果も変化するんですね。

お礼日時：2009/05/15 20:13

No.3 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/14 15:04

正解です。

大変よくできていると思います。
区分求積法は積分の基礎的な「第一歩」です。

「存在する」とか「どんな極限をとる」とかはもう少し後になってからゆっくり考えればいいことではないでしょうか。

この回答への補足

> 正解です。
計算があっていて安心しました。

微分の時には
　x^n, sin(x), e^x
などを微分すると関数が出てきました。
そこで、根拠はないのですが、微分と積分は言葉が似ているので、
漠然と積分をすると関数が出てくるのだと思っていたのですが、
　(b^2 - a^2)/2
のような定数が出てきて不安になっていました。

補足日時：2009/05/14 23:37

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

> 「存在する」とか「どんな極限をとる」とかはもう少し後になってからゆっくり考えればいいことではないでしょうか。
いろいろ調べてみたところそのほうがよさそうな感じでした。

微分のときにも（使ってる教科書には紹介程度だったのもあって）ε-δ法は
今の教科書をやり終えた後の課題に残したのですが、
積分のところでもこのあたりを課題に残したいと思います。

お礼日時：2009/05/14 23:36

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/05/13 01:03

>あらゆるということは、それこそ無限通りの分割の仕方があると思うのですが、

>その場合どのように計算すればよいのでしょうか？

正攻法で攻めるなら、「あらゆる場合」が実はきれいに n 分割した場合で
「網羅できている」ことを何らかの方法で評価することになります。

>"存在する"ことが確認できていませんが、
>(b^2 - a^2)/2 という値はあっていますか？

例えば連続関数については積分が存在することが知られています。
適当に探せば証明もみつかるでしょう。
この時、最初に f(x) = x について正攻法で考えた攻略方法が参考になるでしょう。

この回答へのお礼

再度の回答ありがとうございます。
少し探してみたところ、私にはまだ難しい話のような感じでしたが、
もう少し考えてみます。

ちなみに、私自身は高卒で
『図解入門 数学セミナー よくわかる微分積分の基本と仕組み』秀和システム
という教科書を使っている状況です。

お礼日時：2009/05/14 00:25

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/05/13 00:06

積分の定義は「あらゆる分割について」極限 lim_{Δx->0} を考える必要があります。

なので、残念ながらあなたの求めた結果は

「積分が存在するとすれば」それば (b^2 - a^2)/2 だ

ということです。もう一歩です。

この回答へのお礼

早速のご解答ありがとうございます。

> 「あらゆる分割について」極限 lim_{Δx->0} を考える
私の計算だときれいに n 等分した場合だけを計算しているから
間違っているということですね。

あらゆるということは、それこそ無限通りの分割の仕方があると思うのですが、
その場合どのように計算すればよいのでしょうか？

> 「積分が存在するとすれば」それば (b^2 - a^2)/2
微分のときに右から近づく場合と左から近づく場合の値が
一致したときに微分可能だったのと同じような感じなのかな、と考えました。
"存在する"ことが確認できていませんが、
(b^2 - a^2)/2 という値はあっていますか？
面積を考えるとあってそうかなと考えています。

お礼日時：2009/05/13 00:37