正方行列AとBがともに上三角行列であるとき、積ABもまた上三角行列となることを示せ。
という問題がわかりません。
自分で解こうとしましたが、以下のような状態で、証明できていません(^_^;)

行列式|A|はAの対角成分を掛け合わせたもの。同様に行列式|B|はBの対角成分を掛け合わせたものになっている。また、|AB|=|A||B|より、積ABの行列式はAとBの全ての対角成分を掛け合わせたものとなる。よって、|AB|はAとBの対角成分のみから構成されているので、積ABもまた上三角行列である???

A 回答 (1件)

A, B が上三角行列なら、その (i,j) 成分は、


i < j のとき、A[i,j] = B[i,j] = 0 です。

A, B の積を作ると、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] ですが、
i < j の範囲では…

  i ≧ k ≧ j とはなりえないので、
  i < k または k < j の少なくとも一方は成り立ち、
  A[i,k] と B[k,j] の少なくとも一方は 0、
  すなわち A[i,k] B[k,j] = 0 です。

  よって、Σ しても、(AB)[i,j] = 0。

これは、積 AB が上三角行列だということですね。
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◆北欧

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オーストリア
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◆東欧

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ドイツ語は、かなり通じます。
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よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

簡単にまとめて書かれているニュースサイト
http://de.msn.com/

沢山新しい単語が学べます。
http://www.goethe-verlag.com/tests/YD/YDTA001.HTM

ドイツ語を勉強する外国人のためのゆっくりと読み上げたラジオニュース右のAnhoerenをクリックすると音声が聞けます。
http://podster.de/episode/1087268
ZDF のサイトNachrichten以外にもドラマや歴史、科学番組のビデオが見られます。
http://www.zdf.de/

http://www.goethe.de/lrn/duw/deindex.htm

http://www.deutsch-perfekt.com/

無料図書サイト
http://gutenberg.spiegel.de/?id=5&xid=969&kapitel=137&cHash=b2042df08bhaensel#gb_found
http://gutenberg.spiegel.de/index.php?id=19&autorid=309&autor_vorname=+Franz&autor_nachname=Kafka&cHash=b31bbae2c6
Franz Kafkaの "Die Verwandlung"はドイツの中3~高1の副読本程度。

ネットで探すときは"DaF" (Deutsch als Fremdsprache)がStichwortです。
DaF Uebung und Tests で検索すると無料のテストがいくつもでてきます。

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Q不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
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なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な(式による)証明と
いただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-...続きを読む

Qドイツ語学習者の方教えてください

ドイツ語学習者の方教えてください
最近ドイツ語を習得したいと思うようになりましたが
仕事では一切利用チャンスなし、他言語が出来るわけでもなし、ドイツは1-2年に一度行ければいい方、
おそらく一生涯を日本で終えるであろう私はドイツ語を習得しても全くメリットは無いとは自覚してます。
(だけど何故か惹かれるんです・・・)
ドイツ語を学習している方は
・なぜドイツ語を習得したのか
・ドイツ語習得のメリット
を教えていただけますでしょうか。

Aベストアンサー

ドイツという国に行き来することが無くてもドイツ語を学習している人は多いですよ。
ドイツ語学習者には、韓国語学習などと比べると実用上(旅行の便利)の目的がある人が少なくて、ドイツの文化に惚れてしまった人が多いのでないかと思います。

私の場合は、少年のころに聞いていた音楽、好きだった音楽が、多くドイツ語を話す人々によって発展してきたことを後に知り、ドイツ語というのは音楽と連結していました。
シューベルトの歌など、美しい旋律に合わせて歌われる歌詞がドイツ語であったため、ドイツ語を理解したいと思いました。

もうひとつの動機はポルシェのカタログです。
日本の自動車文明発展期に育った私は、今は化石のようになってしまった”自動車少年”でした。
少年なりに色々な自動車を研究し、結論として選んだ世界一の自動車がドイツのポルシェという自動車でした。
当時は東京で開催されていた東京モーターショー(いまは千葉県で開催されます)で、偶然手に入れたポルシェの豪華カタログがドイツ語だった。これがドイツ語を読みたい理由になった。読めないドイツ語のカタログを何度も”読んで”理解できる数字とか記号などから文章を想像したものです。暗号解読ですね。

三つ目は、大学でのドイツ語です。
機械工学を専攻しましたが、当時、三省堂のコンサイス独和辞典を編纂した倉石五郎先生という方がいました。その先生は私と同じ機械工学を専攻し、その後にゲルマニストに転向し、辞書編纂までやってしまった稀有な人でした。機械工学という固いロジカルな性質とドイツ語という言葉になぜか共通のものを感じてしまうのは私だけでなは無いようです。
その後、ジェット戦闘機を作っているフランスの会社のエンジニアと三次元CADの仕事をする機会があり、フランス語/フランス人も案外メカニカルだなあと認識を改めた経験がありますけど。

大学では、ドイツ語を第一外国語にして、英語とフランス語を第二外国語に選びましたが、第二外国語は身に着かないもので、卒業時点では私の外国語=ドイツ語でした。
しかし、卒業後にドイツ語を使用する機会が無く、第二外国語の英語ばかりで、苦労しました。
ところが、人生って面白いもので40歳になったころドイツの会社に転職することになりました。
言語能力で転職したわけではなく、実際、社内言語は英語でしたが、若い時にドイツ語に没頭した時期があったから、”神様が引き寄せた”と思っています。

ポーランド人、チェコ人などもドイツの支配下、あるいは影響下にあって、ドイツに留学したりドイツの先生についてドイツ語で生活していた人も多かったようです。
いまはロシアになっているカリーニングラートも、昔はケーニヒスベルク(K?nigsberg)というドイツ語の街でしたし、いまはフランスになっているストラスブールがドイツのシュトラースブルク(Stra?burg)だったことも有名ですね。この街の人々はフランス語と同時に自分たちのアルゼシッシュという言葉を常用しますが、ドイツ語の方言です。

さて、ドイツ語習得のメリットですが、二つあります。
1.ドイツ語自体が持つ言語の精緻さ、美しさを楽しむ。音楽を楽しむのと同じような自己目的的楽しみでしょうか。
2.ドイツ人、ドイツ語人たちの文化・文明を理解し、楽しむための補助手段といてドイツ語が役に立つことです。
7~8年まえだったでしょうか、フォルクスワーゲンというドイツの自動車メーカーのホームページを見ていてい、彼らがガソリン直噴技術と過給技術を組み合わせ、小排気量で大排気量と同等の最大トルクを出しながら省エネルギーに貢献しようとしていることを知りました。
日本でこの小排気量車が発売されるよりも3年ぐらい先行して情報を得ていたことになります。
この例の様に、質問者さんが好きな分野、興味のある分野での先端的情報を取るためにドイツ語が役立つこともあります。
私場合、ニーチェという哲学者の書いた本をドイツ語で読むつもりですし、可能であればカントールという数学者の書いた無限に関する本もドイツ語で読んでみたいです。

最後にドイツ語習得のメリットなのかどうか分かりませんが、ドイツ語を集中的に学習した経験があったため、その後、社会に出て、第二外国語の英語を使わなければならない環境になったときに、英語の上達が他人よりも早かったような気がします。つまり、英語だけでなく、ドイツ語も理解することによって、不定関係代名詞だとか、仮定法だとか、目的語の格だとか、日本人が分かりにくい部分を良く理解でき、英語が簡単に思えたってことでしょうかね。

長くなってしまいましたが、ドイツ語学習のメリットなどにだわることなく、simi-chanがドイツ語に惚れこんでしまう様に祈っていますよ。

ドイツという国に行き来することが無くてもドイツ語を学習している人は多いですよ。
ドイツ語学習者には、韓国語学習などと比べると実用上(旅行の便利)の目的がある人が少なくて、ドイツの文化に惚れてしまった人が多いのでないかと思います。

私の場合は、少年のころに聞いていた音楽、好きだった音楽が、多くドイツ語を話す人々によって発展してきたことを後に知り、ドイツ語というのは音楽と連結していました。
シューベルトの歌など、美しい旋律に合わせて歌われる歌詞がドイツ語であったため、ドイツ語を...続きを読む

Aベストアンサー

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (...
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