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正方行列AとBがともに上三角行列であるとき、積ABもまた上三角行列となることを示せ。
という問題がわかりません。
自分で解こうとしましたが、以下のような状態で、証明できていません(^_^;)
行列式|A|はAの対角成分を掛け合わせたもの。同様に行列式|B|はBの対角成分を掛け合わせたものになっている。また、|AB|=|A||B|より、積ABの行列式はAとBの全ての対角成分を掛け合わせたものとなる。よって、|AB|はAとBの対角成分のみから構成されているので、積ABもまた上三角行列である???
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
A, B が上三角行列なら、その (i,j) 成分は、
i < j のとき、A[i,j] = B[i,j] = 0 です。
A, B の積を作ると、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] ですが、
i < j の範囲では…
i ≧ k ≧ j とはなりえないので、
i < k または k < j の少なくとも一方は成り立ち、
A[i,k] と B[k,j] の少なくとも一方は 0、
すなわち A[i,k] B[k,j] = 0 です。
よって、Σ しても、(AB)[i,j] = 0。
これは、積 AB が上三角行列だということですね。
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