次の極限値を求めよという問題ですが、
lim[z→0]{(z^2)+i}/z
この問題は分母が0に収束するので無限大になるという考え方は
分かるのですが、
この問題を解く途中式で
=i/0=無限大
というような分母に0がくる形を書いてもいいのでしょうか?
別の解き方があるのでしょうか?
お願いします。

A 回答 (2件)

分子が 1、分母が 0 に収束するとき、


その分数の極限は ∞発散する…
という定理を「1/0=∞」と書いてよいか?
という質問ですね。

言いたいことは十分判りますから、
仲間内で読む文章に書く分には、
何の問題もないでしょう。

試験などの答案に書くと、イロイロ
突っ込まれる恐れがありますから、
定理そのものをキチンと書いたほうが
安全でしょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
わかりました。
定理を示せばいいわけですね。
納得しました。

お礼日時:2009/05/15 21:18

一番正確な、記法(Notation)は、


= 1/0*i = ∞

ただし、「1/0 = +∞」とすると定義した場合のみ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
定義すればいいのですね。

お礼日時:2009/05/15 21:17

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複素数での極限と絶対値

他人の質問への便乗で大変申し訳ないのですが、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2649820.html
でのNo2さんの良回答からの引用で質問です。


回答中の

exp(Ax)で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.(A=-(1+ai)とおいていたので)
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

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=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
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exp(Ax)で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.(A=-(1+ai)とおいていたので)
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=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
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x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
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...続きを読む

Aベストアンサー

> 絶対値でないものを絶対値で考えられる理由がわからず困っています。

もともと、lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) を求めたい訳です。
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) | = 0 であることが言えれば、
lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) = 0 が言えますね?    ←[1]
絶対値は、連続関数ですから。

計算してみると、
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) |
= lim[x→+∞] exp(-x)    ←[2]
= 0
です。

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もちろん、[ ]内が(-1)になると、答えも合います。

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どなたか御教授願います。

Aベストアンサー

>0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、

これがまず書き間違いでしょうね
∫exp(-1-ai)x dx
でしょう.
見にくいので A=-(1+ai)と書きますと
これの原始関数は
(1/A)exp(Ax)ですのでつじつまがあいます.
また,0->∞の積分範囲ですが
「∞を代入する」というのが間違いです
これは
0 -> t の範囲で考えて値を出してから
t->∞の極限をとるという意味です.

本質は
exp(Ax)だけで,なおかつ x=0 を代入すれば 1 なので
結局は
exp(Ax) で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))

ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

とまあ,こういうわけです.

>「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、
というのは,
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>0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、

これがまず書き間違いでしょうね
∫exp(-1-ai)x dx
でしょう.
見にくいので A=-(1+ai)と書きますと
これの原始関数は
(1/A)exp(Ax)ですのでつじつまがあいます.
また,0->∞の積分範囲ですが
「∞を代入する」というのが間違いです
これは
0 -> t の範囲で考えて値を出してから
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します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
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Qe^iθの大きさ

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上の式も下の式もよくわかりません
どなたか両方詳しく教えて下さい。

Aベストアンサー

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

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(e^iθ)の共役複素数は(e^-iθ)ですから、

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