(s+1)/(s+5)の逆ラプラス変換を教えてください!

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A 回答 (1件)

とりあえずヒントだけ



(s+1)/(s+5)=(s+5-4)/(s+5)=1-4*1/(s+5)

1と1/(s+5)の逆ラプラス変換はすぐできますね。
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この回答へのお礼

なるほど!そうやってとくのですね!!
早い回答ありがとうございます!助かりました!!

お礼日時:2009/05/17 00:28

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qラプラス逆変換

1/(s(s^2+1)^2のラプラス逆変換お願いします!

Aベストアンサー

L{f(t)}=F(s)=1/(s(s^2+1)^2)

部分分数展開すると
=(1/s)-(s/(s^2+1))-(s/(s^2+1)^2)

=(1/s)-(s/(s^2+1))-(1/2)d/ds{1/(s^2+1)}

ラプラス変換の公式を適用して
f(t)=1-cos(t)-(1/2)tsin(t) (t≧0)

Qラプラス変換に関して

f(t) = te^at →(ラプラス変換) F(s) = 1/(s-a)^2

この計算の途中過程を教えてください。
 
e^-st をどのように使うかがよくわかりません

回答宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

e^(-st) の使い方って…
ラプラス変換の定義 L[ f(t) ] = ∫[0~∞] f(t) e^(-st) dt
を知らなければ、話にならない。
計算練習の前に、一通り本を読もう。

G(s) = L[ g(t) ] と置くとき、
L[ g(t) e^(at) ] = ∫[0~∞] g(t) e^(at) e^(-st) dt
= ∫[0~∞] g(t) e^((a-s)t) dt
= G(s-a).
これは基本公式。是非、導出込みで理解しておかなければ。

g(t) = t の場合に、問題の
F(s) = L[ f(t) ] = L[ t e^(at) ] になる。

G(s) = L[ t ] = ∫[0~∞] t e^(-st) dt
= (1/s^2) ∫[0~∞] u e^(-u) du ; u = st
= (1/s^2) { [-u e^(-u)]_(0~∞) - ∫[0~∞] -e^(-u) du } ; 部分積分
= (1/s^2) { (0 - 0) - [e^(-u)]_(0~∞) }
= 1/s^2
…は、計算せずに、ラプラス変換で引いてもいいが、

いづれにせよ、
F(s) = G(s-a) = 1/(s-a)^2.

e^(-st) の使い方って…
ラプラス変換の定義 L[ f(t) ] = ∫[0~∞] f(t) e^(-st) dt
を知らなければ、話にならない。
計算練習の前に、一通り本を読もう。

G(s) = L[ g(t) ] と置くとき、
L[ g(t) e^(at) ] = ∫[0~∞] g(t) e^(at) e^(-st) dt
= ∫[0~∞] g(t) e^((a-s)t) dt
= G(s-a).
これは基本公式。是非、導出込みで理解しておかなければ。

g(t) = t の場合に、問題の
F(s) = L[ f(t) ] = L[ t e^(at) ] になる。

G(s) = L[ t ] = ∫[0~∞] t e^(-st) dt
= (1/s^2) ∫[0~∞] u e^(-u) du ; u = st
= (1/s^2) {...続きを読む

QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
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Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む

QRC並列回路過渡現象について

お世話になります。
RC並列回路のパターンの過渡現象の解き方を教えて下さい。

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もうひとつ別の方法。

EとR1を電流源で置き換えると
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するとR1とR2が並列に繋がるので

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電圧値=E・R2/(R1+R2)に抵抗R=R1R2/(R1+R2)と
コンデンサCを直列接続したのと同じです。

とすると、コンデンサの電圧はvgから、上でもとめた
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正解は②

Qeのマイナス無限大乗

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T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
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Qラプラス逆変換

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s / { (s-1)^3 }

模範解答

s / { (s-1)^3 } = 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } と展開できる。

L^(-1) [ 2/(s^3) ] = t^2
L^(-1) [ 1/(s^2) ] = t

などを用いれば、

L^(-1) [ s / { (s-1)^3 } ]
= L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } ]     ←ここから
= (t^2)/2 * e^t + te^t                ←ここまでが分かりません
= (t/2 + 1) * te^t

・・・と本に書いてあります。
L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } ] から
= (t^2)/2 * e^t + te^t になるまでの過程を教えてください。

L^(-1) [ 1/{ (s-1)^2 } ] の方は
L^(-1) [ 1/{ (s-a)^2 } ] = te^(at)
という問題があったので、そちらを使います。

ただ、L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } ] はどれとどれの公式を使うのか分かりません。
特に3乗の部分が・・・それらも含めて教えてください。お願いします。

次の関数のラプラス逆変換を求めよ。

s / { (s-1)^3 }

模範解答

s / { (s-1)^3 } = 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } と展開できる。

L^(-1) [ 2/(s^3) ] = t^2
L^(-1) [ 1/(s^2) ] = t

などを用いれば、

L^(-1) [ s / { (s-1)^3 } ]
= L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } ]     ←ここから
= (t^2)/2 * e^t + te^t                ←ここまでが分かりません
= (t/2 + 1) * te^t

・・・と本に書いてあります。
L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } ] から
= (t^2)/2 * e^t + te^...続きを読む

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いやいや, さすがにそれはないよ....

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Q遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか?

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>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
>となるのでしょうか?
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)


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