(s+1)/(s+5)の逆ラプラス変換を教えてください!

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S」に関するQ&A: iPhone5sのバッテリー

A 回答 (1件)

とりあえずヒントだけ



(s+1)/(s+5)=(s+5-4)/(s+5)=1-4*1/(s+5)

1と1/(s+5)の逆ラプラス変換はすぐできますね。
    • good
    • 4
この回答へのお礼

なるほど!そうやってとくのですね!!
早い回答ありがとうございます!助かりました!!

お礼日時:2009/05/17 00:28

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S」に関するQ&A: AT車のSとLはどう時使うの?

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Qラプラス変換で連立微分方程式を解くとき

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
sL(x) - x(0)
のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数)
となります。一方ラプラス変換で解くと
x = (x0 - (2x0 + 4y0)t)exp(3t)
y = (y0 + (x0 + 2y0)t)exp(3t)
(x0 = x(0),y0 = y(0))
となります。
これは実は C1 = y0, C2 = x0 + 2y0
と置き直すと同じになります。ここで質問です。

(1)このような問題でふつうは任意定数を使うべきでしょうが、
x(0),y(0)を使ったら不正解なのでしょうか。

(2)そもそもx(0),y(0)は任意定数になるのでしょうか。

(3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか?

以上です。よろしくお願いいたします。

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
sL(x) - x(0)
のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数)
とな...続きを読む

Aベストアンサー

(A) C1、C2は初期条件(境界条件)によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

(B) 一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値(境界値)が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
(B)は現実的な初期の物理量の初期値をあらわす物理量で工学や実験系の物理学でで採用される傾向にあります。

実際、初期条件(境界条件)を与えてやれば、時間関数の変数(物理変数)の式は同じになります。

> (3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか?

あなたがどちらの立場を取るかの違いだけです。
数学分野の人なら演算子法をより好んで使い、工学系の人ならラプラス変換をより好んで使うということですね。

工学分野の人が、数学分野の人に演算子法はいらない(不要だ)、ラプラシ変換法を使え。といっても、結論はでないでしょうね。
逆のことを言われるだけでしょう。

(A) C1、C2は初期条件(境界条件)によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

(B) 一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値(境界値)が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
(B)は現...続きを読む

Q1/(s(s+1)^8) の逆ラプラス変換

1/(s(s+1)^8) の逆ラプラス変換がどうしてもできません.どなたか,やってみてくれませんか?

Aベストアンサー

1/s/(s+1)^n
=1/s/(s+1)/(s+1)^(n-1)
=(1/s-1/(s+1))/(s+1)^(n-1)
=1/s/(s+1)^(n-1)-1/(s+1)^n

すなわち
1/s/(s+1)^n=1/s/(s+1)^(n-1)-1/(s+1)^n

よって
1/s/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)-1/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s-1/(s+1)-1/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8

1/s/(s+1)^n
=1/s/(s+1)/(s+1)^(n-1)
=(1/s-1/(s+1))/(s+1)^(n-1)
=1/s/(s+1)^(n-1)-1/(s+1)^n

すなわち
1/s/(s+1)^n=1/s/(s+1)^(n-1)-1/(s+1)^n

よって
1/s/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)-1/(s+...続きを読む

Qラプラス変換

ラプラス変換の式は理解できるのですが、
ラプラス変換はいったい何を表わすものなのか、よくわかりません。
ラプラス変換というのは、式ではなく言葉ではどのように説明できますか?
詳しいかた、教えてください

Aベストアンサー

物理におけるフーリエ変換と対比して考えてみることが大切です。変換により座標の時間軸は周波数軸、空間軸(x,y,z)は運動量軸(px,py,pz)となり、その変換関数はスペクトル振幅など明瞭な物理的意義があります。他方ラプラース変換は微分方程式を解くための巧妙な数学的技巧に過ぎず変換関数にも物理的な意味は無いと思います。
フーリエ変換は量子力学や結晶学では不可欠な重要意義を持ちますので、まずこれをよく勉強されることが必要です。

Q3/(n+2)(n+5)= 1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>} ???

{1/(n+2)}-{1/(n+5)}=3/(n+2)(n+5)…(1)です。更に
1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>}…(2)
にと変形できるそうです。
読んでいる本に、(1)の分子の3を1にする為に上の変形が紹介されていたのですが、

(1)と(2)は同じ数値、大きさになるのでしょうか? 
分子と分母で数字が同じでも、分子を1にして元々の数字で割ってしまっては(分母に元の数字を)、違う大きさになると思うのですが…
2/1と1/2は違いますし…

Aベストアンサー

A-B=3Cだから、C=(1/3)(A-B)だ、といっているのです。

1/(n+2)-1/(n+5)=3{1/(n+2)(n+5)}だから
1/(n+2)(n+5)=(1/3){1/(n+2)-1/(n+5)}になりますよということ。
(2)の方の式に等号がありませんが、左辺(あるいは右辺)に
くるべきものをいっしょに考えてください。

Qラプラス変換を初等的関数に適用したら

数学は中学程度なのですが、今はラプラス変換にあこがれています。この変換はたとえばy=xのような関数に施すとラプラス変換について何かわかるでしょうか。

Aベストアンサー

ラプラス変換を私なりに分類すると

h:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1
T:決まった時間、負であっても正であってもよい
とすると
(1)片側ラプラス変換:F(s):=∫[0<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)
(2)擬似両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・h(t-T)・e^(-s・t)
(3)両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)

(1)
通常のラプラス変換
初心者向き
δ関数が変な妥協しないと変換できない
公式が汚く(2)より多い
変換と原関数が1対1
(2)
最も有用
中級者向き
Tを自在に設定できるので便利
変換できる関数を多くするにはTを大きな負にとる
そのためδ関数を問題なく変換できる
公式が綺麗で(1)より少ないので楽
変換と原関数が1対1
(3)
変換できる関数が最も広く万能だが扱いにくい
上級者向き
欠点はtの一次以上の多項式を変換できない
変換と原関数が1対1に対応するとは限らない
公式は適用できない
複素関数論(留数定理、ジョルダンの補助定理)を熟知していないと扱えない

f(t)=tの変換は
(1)F(s)=1/s^2
(2)F(s)=(T/s+1/s^2)・e^(-s・T)
(3)変換できない

ラプラス変換を私なりに分類すると

h:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1
T:決まった時間、負であっても正であってもよい
とすると
(1)片側ラプラス変換:F(s):=∫[0<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)
(2)擬似両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・h(t-T)・e^(-s・t)
(3)両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)

(1)
通常のラプラス変換
初心者向き
δ関数が変な妥協しないと変換できない
公式が汚く(2)より多い
変換と原関数が1対1
(2)
最も有用
中級者向き
Tを自在に設定できるので便利
変換...続きを読む

Q(a^n)/((s^2)(s+a)^n)の逆ラプラス変換

皆さんよろしくお願いいたします。
複素数s、正の自然数n、実数a(ただしa=(n-1)/T,T:実数)で構成
される次の式の逆ラプラス変換を解こうとしています。

(a^n)/((s^2)(s+a)^n)

(a^n)/(s(s+a)^n)の場合は、ここで質問させて頂き、おかげさまで
解くことが出来ました。
(URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4204188.html参照)
同様の方法で解くことが出来るか試しましたが、うまくいきませんでした。
留数定理など、他の方法で解くことが出来るなど、解き方を
ご存知の方いらっしゃいましたらご教示いただきたくお願いいたします。

Aベストアンサー

>同様の方法で解くことが出来るか試しましたが、うまくいきませんでした。
ちゃんと同じ手順を踏んでいただけば出来ますよ。
部分分数展開は次のように出てきます。
F(s)=(a^n)/((s^2)(s+a)^n)
=(1/s^2)-{n/(as)}+Σ[k=1,n] (n-k+1)a^(k-2)/(s-a)^k
後は逆ラプラス変換は自力でやってみてください。
 
うまく出来なければ、やった計算式を補足に書いて、再度質問してください。

f(t)=t-(n/a)+{e^(-at){(n/a)+(n-1)t+(n-2)(a/2)t^2+ … }
=t-(n/a)+{e^(-at)}Σ[k=1,n] …
といった形の式になります。
まず自力でフォローしてやってみてください。

Qラプラス変換とフーリエ変換について教えて下さい。

ラプラス変換とフーリエ変換の違いは後者が虚数だけなのに対して、前者はそれを拡張して複素数に使えるようにしたものであるということ分かるのですが、その使い分け方がさっぱり分かりません。

・一般的に微分方程式を解くときにはラプラス変換を用いますが、これをフーリエ変換でしないのはなぜなのでしょうか?

・逆格子ベクトルを作るときや、スペクトラムアナライザーではフーリエ変換を使いますが、これをラプラス変換でしてはいけないのでしょうか?

・計算機用にフーリエ変換にはFFTというものがありますが、ラプラス変換を離散的にしたZ変換の計算機用に速くしたものがないのはなぜなのでしょうか?

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

お世話さまです。
>一般的に微分方程式を解くときにはラプラス変換を用いますが、これをフーリエ変換でしないのはなぜなのでしょうか?
無限に続く関数はフーリエ変換できないため。sin関数が例です。
積分した値が無限無限大以下となるような関数しか扱えません。

ラプラス変換でもスペクトラムアナライザー変換できます。
フーリエ変換の中にラプラス変換があるイメージで考えるとわかりやすいです。まず使用はないです。積分・微分演算子の分野として確立してます。

Qa+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
が成立するとき、a,b,cのいずれかは1に等しいことを証明する問題です。
上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので
(x-a)(x-b)(x-c)=0を考えて、
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
すなわち x^3-(a+b+c)x^2+( a+b+c)x-1=0
この式はx=1で成立するので、(x-a)(x-b)(x-c)=0に
x=1を代入して
(1-a)(1-b)(1-c)=0
この式が成立するためには、a,b,cのいずれかが1に等しくなければならない、と解きました。この解きかたでよろしいでしょうか。

Aベストアンサー

blackleonさん、こんにちは。

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
>上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので

ということですが、ちょっと変形してみると

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
a+b+c=(bc+ca+ab)/abc=(a+b+c)/abc・・・(★)

というところから、
a+b+c=(a+b+c)/abc
(a+b+c){1-(1/abc)}=0
ゆえに、
a+b+c=0または1-(1/abc)=0すなわちabc=1
と出てくるんじゃないでしょうか。

a+b+c=0またはabc=1のいずれかがいえるので、場合わけしないといけないのではないでしょうか。

さて、1,/a,1/b,1/cなどが実数として存在するので
a≠0,b≠0,c≠0はいえるのかなと思います。
そうすると

(1)a+b+c=0のとき(★)は

(ab+bc+ca)/abc=0
ab+bc+ca=0

ところで、a+b+c=0より、c=-(a+b)ですのでこれを代入すると
ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)^2=0
a^2+ab+b^2=0
となりますが、これをaについての2次方程式だとみて判別式をとると
D=b^2-4b^2=-3b^2
これが0以上であるためには、b=0でなければならないが
1/bが存在するためにはb≠0であったから、(1)の場合は不適。

よって
(2)abc=1
の場合だけを考えればいいことになると思います。

blackleonさんの解き方いいと思いますが、文字を消去して
式変形で無理やり持っていってもいいかも。

a+b+c=ab+bc+caを変形。
abc=1より、c=1/abを代入(a≠0,b≠0)

1/a+1/b+1/c=1/ab+1/bc+1/caに代入

1/a+1/b+ab=1/ab+(a+b)/abc
{b+a+(ab)^2}/ab={1+ab(a+b)}/ab
両辺ab倍して
(a+b)+(ab)^2=1+ab(a+b)
(a+b){1-ab}+(ab-1)(ab+1)
=(1-ab){(a+b)-(ab+1)}=0
ゆえに、ab=1またはa+b-ab-1=0

ab=1のとき、abc=1とあわせて、c=1となって
少なくとも一つ1であるを満たす。

a+b-ab-1=0のとき、
(a-1)(b-1)=0と同じであるから、a=1またはb=1

となって、a,b,cいずれかは1である。
・・・と無理やり持っていきましたが、いつも素晴らしい解法が見つかるわけではないので
文字を消去していくのは確実ですよ。

blackleonさん、こんにちは。

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
>上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので

ということですが、ちょっと変形してみると

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
a+b+c=(bc+ca+ab)/abc=(a+b+c)/abc・・・(★)

というところから、
a+b+c=(a+b+c)/abc
(a+b+c){1-(1/abc)}=0
ゆえに、
a+b+c=0または1-(1/abc)=0すなわちabc=1
と出てくるんじゃないでしょうか。

a+b+c=0またはabc=1のいずれかがいえるので、場合わけしない...続きを読む

Qラプラス変換についての質問です

ラプラス変換についての質問です。
f(t)cos(ωt)のラプラス変換のやり方がわかりません。やり方だけでも
結構ですので、わかる方いましたら、是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ヒントのみ
オイラーの公式から
cosωt=(1/2)e^(iωt)+(1/2)e^(-iωt)
この式をラプラス変換の定義式にいれてラプラス変換するだけ。

ラプラス変換の定義式に上の式を代入して指数部をtで括って見てください。そしてラプラス変換の定義式とじっくりと比較してください。
分からなければ、以上の計算式を書いた上で、分からない箇所を質問して下さい。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む


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