hを(-2,2)上で定義されたC^1-級関数とする。h(0)=0であれば、広義積分∫[0→1]h(x)/{x^(3/2)}dxが存在することを示せ。
という問題で、自分なりに考えてはみたのですが、全く自信ありません。すみませんが、正しい解法を教えてください。ちなみに自分の解答は以下のようになりました。

h(x)を原点まわりにテイラー展開すると、
h(x)=h(0)+h'(0)x+R[2]=h'(0)x+R[2]となる。
ここで、R[2]={{f(c)}^(2)}x/(n+1)!である。(0<c<x)
これを∫[0→1]h(x)/{x^(3/2)}dxに代入すると、
∫[0→1]{h'(0)x+R[2]}/{x^(3/2)}dx
=∫[0→1]h'(0)*x^(-1/2)dx+{{f(c)}^(2)}/(n+1)!*∫[0→1]x^(-1/2)dx
=h(0)+2h'(0)+2{{f(c)}^(2)}/(n+1)!
=2h'(0)+2{{f(c)}^(2)}/(n+1)!
(0<c<x)
となるので、これが∫[0→1]h(x)/{x^(3/2)}dxの値となり、この広義積分は存在することが分かる。(証明終)

A 回答 (2件)

h は C^1-級 としか仮定されていないから、2次のテイラー定理は使えない。


1次のテイラー定理(つまり、平均値定理)を使って、
h(x) = x h'(c) となる c が 0 < c < x < 1 の範囲に存在する。

h が C^1-級 なので、h' は (-2,2) で連続。よって、[0,1] では有界である。
| h' | の [0,1] での上界のひとつを M と置く。| h'(c) | ≦ M。

∫[0→1] | h(x)/{x^(3/2)} | dx ≦ ∫[0→1] M x^(-1/2) dx = 2M
だから、∫[0→1] h(x)/{x^(3/2)} dx は絶対収束する。Q.E.D.

蛇足だが、R[2] = {{f(c)}^(2)} x/(n+1)! の c は、x に依存するので、
∫[0→1] {h'(0)x+R[2]}/{x^(3/2)} dx
= ∫[0→1] h'(0)*x^(-1/2) dx + {{f(c)}^(2)}/(n+1)! * ∫[0→1] x^(-1/2) dx
と、c を ∫ の外へ出しているのもマズい。
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>h(x)=h(0)+h'(0)x+R[2]=h'(0)x+R[2]となる。



h は C^1 級なので、二階微分の存在を仮定してはいけません。
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