素因数分解の問題教えて下さい。

ある整数Ｎを素因数分解するとN=2^10×3^15×5^10×7^2となった。
この整数Ｎの正の約数のうち１の位が１であるものは何個あるか求めよ。

という問題をいろいろ考えたり周りの人にも聞いたのですが，どのようにしたらよいかわかりません。
答えは11個らしいのですが、詳しい解説を教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： hesaid 回答日時： 2009/05/23 00:02

2と5を排除して、3^15と7^2の中から組み合わせを探せば良いでしょう。

この回答への補足

解答ありがとうございます。
そこまではなんとなく分かるのですが，そのあとの組み合わせはどのように探せばいいのでしょうか。
いろいろ考えたんですが，わからないです。

補足日時：2009/05/23 00:07

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/23 00:21

こんばんは。

２をかけて１の位が１になる自然数はありません。
５をかけて１の位が１になる自然数もありません。
よって、
Ｍ　＝　３^15 × ７^2
について考えればよいわけです。

幸いなことに、７は２つしかありませんから、７を１つ使うのと２つ使うのとに場合分けすればよいです。

７を１つだけ使うシリーズ
７×３^0　＝　７
７×３^1　＝　２１
７×３^2　＝　６３　・・・１の位は３
７×３^3　＝　の１の位は、３×３＝９　だから　９
７×３^4　＝　の１の位は、９×３＝２７　だから　７
７×３^5　＝　の１の位は、７×３＝２１　だから　１
７×３^6　＝　
７×３^7　＝　
７×３^8　＝　
７×３^9　＝　
７×３^10　＝　
・・・
７×３^15　＝　

７を２つだけ使うシリーズ
７^2×３^0　＝　４９　・・・１の位は９
７^2×３^1　＝　の１の位は、９×３＝２７　だから　７
７^2×３^2　＝　の１の位は、７×３＝１　だから　１
７^2×３^3　＝　の１の位は、１×３＝３　だから　３
７^2×３^4　＝　
７^2×３^5　＝　
７^2×３^6　＝　
７^2×３^7　＝　
７^2×３^8　＝　
７^2×３^9　＝　
７^2×３^10　＝　
・・・
７^2×３^15　＝　

こんな感じです。
何個置きの周期で１の位に１が出現するかは、わかりますよね。


ご参考になりましたら幸いです。

No.3 回答者： wildcat-yp 回答日時： 2009/05/23 00:26

２はかけてしまうと必ず偶数になるので除外します。

５はかけると必ず５か０になるので除外します。

後は３と７のみですが、３の１５乗とかは計算しなくてもいいですよ？
１の位だけ考えればいいので、
まず
３、それに３をかけて
９、それに３をかけると２７ですが、必要なのは１の位なので
７、同様に
１、
３、後は上に戻って繰り返し。
結果、
３，９，７，１，３，９，７，１，３，９，７，１，３，９，７
同様に７では
７，９
これらの組み合わせのうち、１の位が１になるのは
１ｘ１、３ｘ７、９ｘ９だけなので、
３のリストの中に１は３つ、
３は４つ、
９は４つ。
合計11個です
コツは問題に必要ない10の位以降を計算しないことです。
大学などで数論という分野をやると出てくる考え方です。

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/23 02:00

Ｎｏ．２の回答者です。

「幸いなことに、７は２つしかありませんから、
　７を１つ使うのと２つ使うのとに場合分けすればよいです。」
と回答しましたが、それは間違いでした。

７を１つ使う、２つ使う、１つも使わない
の３通りに場合分けが必要です。

失礼しました。