ある整数Nを素因数分解するとN=2^10×3^15×5^10×7^2となった。
この整数Nの正の約数のうち1の位が1であるものは何個あるか求めよ。

という問題をいろいろ考えたり周りの人にも聞いたのですが,どのようにしたらよいかわかりません。
答えは11個らしいのですが、詳しい解説を教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

こんばんは。



2をかけて1の位が1になる自然数はありません。
5をかけて1の位が1になる自然数もありません。
よって、
M = 3^15 × 7^2
について考えればよいわけです。

幸いなことに、7は2つしかありませんから、7を1つ使うのと2つ使うのとに場合分けすればよいです。

7を1つだけ使うシリーズ
7×3^0 = 7
7×3^1 = 21
7×3^2 = 63 ・・・1の位は3
7×3^3 = の1の位は、3×3=9 だから 9
7×3^4 = の1の位は、9×3=27 だから 7
7×3^5 = の1の位は、7×3=21 だから 1
7×3^6 = 
7×3^7 = 
7×3^8 = 
7×3^9 = 
7×3^10 = 
・・・
7×3^15 = 

7を2つだけ使うシリーズ
7^2×3^0 = 49 ・・・1の位は9
7^2×3^1 = の1の位は、9×3=27 だから 7
7^2×3^2 = の1の位は、7×3=1 だから 1
7^2×3^3 = の1の位は、1×3=3 だから 3
7^2×3^4 = 
7^2×3^5 = 
7^2×3^6 = 
7^2×3^7 = 
7^2×3^8 = 
7^2×3^9 = 
7^2×3^10 = 
・・・
7^2×3^15 = 

こんな感じです。
何個置きの周期で1の位に1が出現するかは、わかりますよね。


ご参考になりましたら幸いです。
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No.2の回答者です。



「幸いなことに、7は2つしかありませんから、
 7を1つ使うのと2つ使うのとに場合分けすればよいです。」
と回答しましたが、それは間違いでした。

7を1つ使う、2つ使う、1つも使わない
の3通りに場合分けが必要です。

失礼しました。
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2はかけてしまうと必ず偶数になるので除外します。


5はかけると必ず5か0になるので除外します。

後は3と7のみですが、3の15乗とかは計算しなくてもいいですよ?
1の位だけ考えればいいので、
まず
3、それに3をかけて
9、それに3をかけると27ですが、必要なのは1の位なので
7、同様に
1、
3、後は上に戻って繰り返し。
結果、
3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7
同様に7では
7,9
これらの組み合わせのうち、1の位が1になるのは
1x1、3x7、9x9だけなので、
3のリストの中に1は3つ、
3は4つ、
9は4つ。
合計11個です
コツは問題に必要ない10の位以降を計算しないことです。
大学などで数論という分野をやると出てくる考え方です。
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2と5を排除して、3^15と7^2の中から組み合わせを探せば良いでしょう。

この回答への補足

解答ありがとうございます。
そこまではなんとなく分かるのですが,そのあとの組み合わせはどのように探せばいいのでしょうか。
いろいろ考えたんですが,わからないです。

補足日時:2009/05/23 00:07
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