ある周期関数をフーリエ級数を用いて表すという問題がわかりません。
フーリエ変換を用いるようですが、様々なサイトを見てもフーリエ級数→周期関数の説明ばかりで、これといって参考になりそうなサイトが見つかりません。
具体的な解き方、もしくはそれが説明してあるサイトを教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

    • good
    • 1

どの参考書・HPも小難しく書かれていて、骨子が読み取れないのですよね。

私も非常に苦労した経験があります。月並みな回答かも知れませんが、
「マセマのフーリエ解析I」という参考書が非常に分かりやすく書かれています。分からせることに主眼をおいた参考書でので是非1度ご覧ください。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q複素フーリエ級数を求めよ、と

複素フーリエ級数を求めよ、と
複素フーリエ級数展開を求めよ の違いが最近分からなくなりました。

f(x) = ○○ と与えれた場合、(例えば sinx)
それを

Cn = C0 + Σ △△ の形に変形するのが
複素フーリエ級数を求めた形になるのでしょうか?

ならば複素フーリエ級数展開は…?とこんがらがっています。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

周期関数f(x)(基本周期T)が与えられたとき
f(x)=Σ[n=-∞→∞] C[n]e^(inx/T) …(1)
ただし、C[n]=(1/T)∫[0→T]f(t)e^(-inx/T)dx
の級数形式にf(x)を変換することを複素フーリエ級数展開といい、
(1)の右辺の展開された級数の形式を複素フーリエ級数(または複素級数展開式)という。式の中の[n]は下付き文字を表すものとします。

はっきり区別して使わない場合もありますが、
級数の形式を単に(一般的に)級数と呼び、
関数f(x)を級数の形の式に変換(展開)することを級数展開と呼び、
f(x)を展開した級数の形の式を級数展開式と呼んで、
展開前のf(x)と区別します。
まえに「複素フーリエ」とつければ、複素フーリエ級数とか、複素フーリエ級数展開式となりますね。
この呼称のを式を取り除いて、複素フーリエ級数展開を両方の意味で使っている場合も見られます。

Q周期が2πの以下の関数のフーリエ級数展開が分かりません。

周期が2πの以下の関数のフーリエ級数展開が分かりません。
解説を見ても良く分かりません。
例えば、a0を求める式をこの問題でどう利用すればいいのかわかりません。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問

Wikiの「実数値関数のフーリエ級数」の所のanの式で
n=0とおけば cos(nt)=1なので

a0=(1/π)∫[-π,π] x(t)dt
=(1/π){∫[-π,0] x(t)dt+∫[0,π]x(t)dt}

x(t)は積分区間[-π,0]でx(t)=0,積分区間[0,π]でx(t)=tだから

a0=(1/π)(0+∫[0,π] tdt)
=(1/π)∫[0,π] tdt

となります。

なお、同種の問題の例題が参考URLの「2.3.1節」に見つかりましたので参考にして下さい。
ただし、f(x)⇔x(t)と読み換えてください。

参考URL:http://kouyama.math.u-toyama.ac.jp/main/education/2007/discmath/pdf/text/text04.pdf

Qフーリエ級数とフーリエ変換

大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに
「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。
そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか?
自分なりに調べてみて、

・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。
・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が0になる。

これって正しいですか?(数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません)

Aベストアンサー

似たような用語で「フーリエ展開」も有ります。
フーリエ変換とかフーリエ展開は、歪んだ波からフーリエ級数を求める事を言います。つまり、フーリエ変換やフーリエ展開は操作(動詞or動名詞)、フーリエ級数はその結果を言うわけです。

一方、工学の世界では、複雑な波を、周波数別に分離する手段としてフーリエを使います。どちらかと言うと位相は気にせずに周波数とその強さだけを気にします。
このときも、フーリエ変換とかフーリエ展開といっていると思います。
よく、アンプの特性グラフなどで、縦軸:振幅、横軸:周波数と言うのを見ます。
波の分析で「スペクトラムアナライザ」というのを使いますが、これなど、まさに周波数とその強さだけを、ブラウン管上に表示するものです。

Q周期2πの関数f(x)に対するフーリエ級数について

周期2πの関数f(x)に対するフーリエ級数について、bnが定義される理由を簡潔に述べよ。という問題が分からないので教えてください。

Aベストアンサー

bn って何や? 簡潔に定義せよ。

Qフーリエ級数

 私は、現在フーリエ級数について学習中ですが、現在ではのこぎり波(三角波)を用いたフーリエ級数の求め方に悪戦苦闘しています。この場合は短形波を用いたフーリエ級数と同じようにフーリエ係数(An, Bn)を使って解くのでしょうか?
説明不足かもしれませんが、どなたかよろしくお願いします。
ちなみに、参考文献はありますか?

Aベストアンサー

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、計算が楽にできます。

 のこぎり波の式を
  g(x)=x  (-π<x<π)
とおきますと、フーリエ係数は、
  An=(1/π) ∫x cos(nx)dx=0
  Bn=(1/π) ∫x sin(nx)dx
   =(2/π) ∫x sin(nx)dx   (ここだけ積分区間は 0→π)
   =(-1)^(n+1) 2/n
と求められますので、展開式は次のようになります。
  g(x)=2{ sin(x)-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)-・・・)

 
 フーリエ係数の求め方については、多くのサイトで解説されていますので、「フーリエ級数展開、フーリエ係数」などの用語で検索されるとよいと思います。

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、...続きを読む

Qフーリエ級数展開と複素フーリエ級数展開の証明

T=1,x(t){=1(-1/4<t<1/4)
     =0(-1/2<t<-1/4,1/4<t<1/2)
この周期関数をフーリエ級数展開すると
x1(t)=Σ_[=1,+∞]{4/nπsin(nπ/2)cos2nπt}

また、複素フーリエ級数展開すると
x2(t)=Σ_[n=-∞,+∞]2/nπsin(nπ/2)e^j2πnt

x1(t)=x2(t)が等しい事を証明する。

オイラーの公式を使って示せばいいと思うのですが、行き詰ってしまいなかなかうまく行きません。お手数ですが、出来れば証明をして頂けないでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

nの項と(-n)の項をペアにして考えます。これらに現れる指数関数をオイラーの公式でsine, cosineに書き換えてみますと、

e^(j2πnt) = cos(2πnt)+j sin(2πnt)
e^(j2π(-n)t) = cos(2πnt)-j sin(2πnt)

両者を合体させると、

e^(j2πnt)+e^(j2π(-n)t) = 2cos(2πnt)

Qフーリエ級数の問題ですが。。

フーリエ級数の問題ですが。。

u(x)=x, (-1/2<x<1/2)でのフーリエ級数を求めたいのですが,
どなたか教えて頂けないでしょうか。。

お願い致します。

Aベストアンサー

基本周期Tを指定してください。それによって展開式が変わります。
指定したxの範囲以外はどうなっていますか?

フーリエ級数展開の展開式も色々な定義がありますが、質問者さんが使う展開式の定義式とその係数を与える積分の式はどこにも載っていますが、どの形式の係数の式を使いますか?補足に書いて下さい。
以上が決まれば、積分するだけだと思います。

参考になるURL
http://questionbox.jp.msn.com/qa4928281.html

Qフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数について

[0,2]で定義されたf(x)=x のフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を考える際、f(x)は奇関数なので、フーリエ正弦級数を考えるのは理解できるのですが、フーリエ余弦級数を考えることが理解できません。どなたかご教授願います。

Aベストアンサー

こんにちは。

[0,2]でf(x) = x は奇関数ではないと思いますが。。

もう一度落ち着いて考えることを薦めます。

Qフーリエ級数展開について

振幅がVである、あるエネルギーE(V)をフーリエ級数展開したときの第一項目がE(V)=-Vcos(2θ)とあるのですが、どういうことを意味しているのかを教えてください。
抽象的で申し訳ないのですが、
どうしてフーリエ級数展開の第一項目がこのように表わせるのか、
などのアドバイスが頂けたら幸いです。
質問の意味がわからないという方もいると思いますがご容赦ください。

Aベストアンサー

問題の情報不足です。
フーリエ級数展開する場合、基本周期または展開区間が与えられていないと展開できません。

仮に変数がθで、基本周期が2πとすれば
展開係数のa0=a1=b1=0を意味します。
E(V)をテイラー展開系で近似して表せば
E(V)=V*(2θ^2-1)+V*0(θ^4) (|θ|<<1)

ここで、0(θ^4)はθの4乗項以上の総和とします。

と表される位の情報くらいしかわかりませんね。

Q【至急】【フーリエ級数】画像の方形波のフーリエ級数の求め方を教えて下さい!

画像に示した振幅A、周期T、パルスτの方形波の周期関数 f(t)についてです。

(1) f(t)を偶関数と奇関数に分けて図示せよ
(2)偶関数部のフーリエ級数を求め、スペクトルを図示せよ
(3)奇関数部のフーリエ級数求め、スペクトルを図示せよ

という問題が出されました。
当方はフーリエ級数について何も分からない状態です。
図示はともかくフーリエ級数を求めるだけでも教えてもらえないでしょうか。
出来れば解答が欲しいです。お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です・・!

ちと誤りがあり訂正・・! (ωT = 2πを抜かしてしまっていた!)

f(t)~ Aτ/T+(A/π)・{Σ[n=1→∞] (sin(2nπτ)/n)・cos(2nπt/T)
   +{(1-cos(2nπτ))/n}・sin(2nπt/T)}


人気Q&Aランキング

おすすめ情報