物理化学の問題で解けなくて困っています。

「工学のための物理化学」というテキストで勉強しているのですが、そ中の問で解けないものがあったのでお願いします。

Soave-Redlich-Kwong式を用いた試行法の問題なんですが、正直解けなくて困っています。
もしよろしければ、解き方や解法をお教えください。
よろしくお願いいたします。

ＳＲＫ式を用いて、5.1MPa、－４０℃におけるメタンのモル体積を求めよ。という問題なのですが、
ＳＲＫ式というのは、p=(RT/V-b)-(aα/V(V+b)) で与えられてます。
a=0.2334、b=2.98×10の-5乗、m=0.4926、α=0.8983
というのは与えられた条件からわかりましたが、Vがどうしてもわからなかったので解法をお願いします。
試行法の方法としては、テキスト（工学のための物理化学 p71、朝倉書店）では、気相なので理想気体のVidを初期値としたニュートン法が便利とありましたが、何でもいいそうです。もしできればニュートン法での解き方も分かれば解説お願いします。
最終的に与えられるVの値は、2.97×10の-4乗 m3/molです。
宜しくお願いいたします。

No.1 回答者： riddle09 回答日時： 2009/05/25 11:00

Ｐ＝ＲＴ／(ｖ－ｂ)－ａ／{ｖ(ｖ＋ｂ)}

がＳＲＫ状態方程式なのではないでしょうか。

モル体積を求めるのだから、上の式をまずｖについて解いて、その式に
　Ｐ＝5.1　(ＭＰａ)
　Ｒ＝8.31447×10＾3　(Ｐａ・ｌ／ｍｏｌ・Ｋ)
　Ｔ＝-233.15　(Ｋ)
およびＳＲＫ式の係数であるａとｂの値を代入すれば、理論的には
解けると思います。

この回答への補足

ありがとうございます。

ですがテキストだと上記の式で間違いないです。
しかも、問の中で「Vmを求めよ」とあるのでVmの数値がほしいんですよ。
ＳＲＫ式を用いて、5.1MPa、－４０℃におけるメタンのモル体積を求めよ。のモル体積Vmです。
そしてその方法の一つとしてニュートン法が挙げられているという…。
先ほどもう一度考えたのですがやはり解法が見つからず手探り状態ですので、どうかよろしくお願いします！！

補足日時：2009/05/25 14:01

No.2 回答者： f272 回答日時： 2009/05/25 16:07

P=(RT/(V-b))-(aα/V(V+b))

この式からはじめる。分母を払って
PV(V+b)(V-b)=RTV(V+b)-aα(V-b)
展開して
PV^3-Pb^2V-RTV^2-bRTV+aαV-aαb=0
Vでまとめて
PV^3-RTV^2+(αa-Pb^2-bRT)V-aαb=0
ここからVを求めていってもいいのですが、よく見かけるのは圧縮係数Z=PV/(RT)の3次式にする方法です。
P^2/(RT)^3を掛ければ
Z^3-Z^2+(αA-B^2-B)Z-αAB=0
ただしZ=PV/(RT)、A=aP/(RT)^2、B=bP/(RT)です。
左辺をf(Z)とおけば
f(Z)=Z^3-Z^2+(αA-B^2-B)Z-αAB
であって
f'(Z)=3Z^2-2Z+αA-B^2-B
f(Z)=0となるZを求めるためにニュートン法を使います。
a=0.2334
b=2.98e-5
α=0.8983
P=5.1e6
T=233.15
R=8.31447
だから
A=0.3167605
B=7.84e-2
となるので、(計算はエクセルでやってみた。)
Zの初期値は理想気体の場合のZ=1を使う。Zの更新はZ_new=Z_old-f(Z_old)/f'(Z_old)を使う。
Z　　　　 f(Z)　　　f'(Z)
1　　　　 1.78E-01　 1.20E+00
8.52E-01　4.06E-02　 6.73E-01
7.92E-01　5.44E-03　 4.97E-01
7.81E-01　1.63E-04　 4.67E-01
7.80E-01　1.64E-07　 4.66E-01
7.80E-01　1.66E-13　 4.66E-01
7.80E-01　4.86E-17　 4.66E-01
7.80E-01　-3.47E-17　4.66E-01
7.80E-01　4.86E-17　 4.66E-01
この辺までやれば、もうZは収束したと考えて、V=ZRT/PでVを求めればV=2.97e-4になる。