コンニチワ
必要条件、十分条件、必要十分条件について
区別の仕方がいまいちよくわかりません
分かる方教えて下さい
数Aの分野です
よろしくお願いします

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A 回答 (12件中11~12件)

ウソこきました。



a=0の時、一次式になり、b<>0であれば、根を持ちます。

だから、下で、1)2)を同時に充たすとこは、下の2次方程式が実根を持つための
十分条件です。

b^2+4ac>=0..............1)

a<>0,または、a=0且つb<>0...3)

1)3)を同時にみたすことが(実)根を持つための必要十分条件です。

多分こんどはOK。
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30年前の数学系です。

高校生ですね?一部ボケが入っているかもしれない。

「AはBであるための必要条件である」とは、その名のとおり、「Bであるためには必ず、条件Aを充たさなくてはならん」という意味です。例外は許されません。
言葉を変えて言うと、「Bならば(必ず)Aである」ということです。

「AはBであるための十分条件である」とは、「Aならば(必ず)Bである」ということです。

「AはBであるための必要十分条件である」とは、以上で分かるとおり、「AならばBであり、BならばAである」ということです。

例を挙げましょう。2次方程式 y=ax^2+bx+c が(実)根を持つための必要条件として、

b^2+4ac>=0..............1)

が挙げられます。しかし十分条件ではありません。

a<>0....................2)

であることが必要です。したがって、
1)2)を同時に充たすことが根を持つための必要十分条件となります。
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Q必要条件?十分条件?必要十分条件?

こんにちは。
例えばの話ですが、
y=f(x)の最大値を求めよ
という問題があったとして、その最大値はy=f(x)であるためのなんらかの条件となっているのでしょうか?
それともこれに必要条件などの議論を持ち込むのは間違っているのでしょうか?
最近数学の問題を見るといつも、これは必要条件なのか?十分条件なのか?それとも必要十分条件なのか?と考えてしまい、全然問題を解くのに集中できません。
今まではこんなこと考えることはなかったのですが、今は気になってしまい、とても困っています。
どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2です。話を単純化してみます。一つずつお確かめください。
以下の記述は、すべて同じことを言っています。

(1) Aが成立すればBは成立する。
(2) 「Aが成立すればBは成立する」という命題は「真」である。
(3) A→B
(4) AはBの十分条件である。
(5) BはAの必要条件である。
(6) Bが成立しなければAは成立しない。

A(方程式、不等式、またはその他の命題)の解とは、Aの必要条件Bをできるだけ簡単な形で記述したものです。

ただし、問題の性質によっては、求めた解が必要かつ十分であることが自明の場合があります。お尋ねの「yの最大値」は、答が1つに決まっていますから、求められた解Bは、出題Aの必要条件であると同時に十分条件でもあり、計算に間違いがない限り正解とされます。

しかし「yの最大値を与えるxの値を求めよ」という出題であれば、答が1つとは限りませんから、偶然に見つけた1つの解を書いても、それは十分条件にすぎないので、正解とされません。

Q必要条件、十分条件、必要十分条件・・・・

実数cに関する条件|c|≦2を考える。
x<1ならばcx<2というcに関する条件は|c|≦2が成り立つための(1)必要条件であるが十分条件でない(2)十分条件であるが必要条件でない(3)必要十分条件である(4)必要条件でも十分条件でもない
という問題で解答は(2)なんですが
解き方、考え方がわかりません・・・
たぶん問題の意味もわかっていないんだと思います・・・

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「ズバリ言うわよ!」(古いかな?)というのは、よくないでしょうから、まあ、ヒントを少し。ただし、厳密に言うと、数学IIの不等式と領域のあたりを使うヒントですが。
 最初の方の回答通り「x<1ならばcx<2というcに関する条件」について、考えることでしょうね。
 実は、これが考えにくいのが、この問題の難しさでしょう。グラフを考えるのが一つの手だと思いますが、いかがですか。
 y=cxのグラフがx<1の範囲で、必ずy<2となるcとは、どのようなものでしょう。これを考えれば、「x<1ならばcx<2というcに関する条件」とは何かを考えたことになります。
 さて、y=cxのグラフは、cが負だと、傾きが負の直線です。xがマイナスになると、どうでしょうか。xが-1000、-100000とかの時、x<1は満たしています。果たして必ずy<2になるのでしょうか?
 次に、cが0以上のとき、このグラフがx<1の範囲で必ずy<2となるcの範囲は?
 こう考えると( )≦c<( )という感じでcの範囲が出ると思いますが、どうですか?
 ここまでくれば、答えまでは、すぐですよ。

「ズバリ言うわよ!」(古いかな?)というのは、よくないでしょうから、まあ、ヒントを少し。ただし、厳密に言うと、数学IIの不等式と領域のあたりを使うヒントですが。
 最初の方の回答通り「x<1ならばcx<2というcに関する条件」について、考えることでしょうね。
 実は、これが考えにくいのが、この問題の難しさでしょう。グラフを考えるのが一つの手だと思いますが、いかがですか。
 y=cxのグラフがx<1の範囲で、必ずy<2となるcとは、どのようなものでしょう。これを考えれば、「x...続きを読む

Q必要条件、十分条件、必要十分条件

次の問題は、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
(1) a=b=cは、a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0である。
(2)a=b=cは、 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0である。

僕の答え
(1)必要条件
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2-(1*1)-(1*1)-(1*1)=0
よって左→右はOK
右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
(a+b-c)^2-3ab+bc+ca=0

(2)必要条件でも十分条件でもない
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2+(1*1)+(1*1)+(1*1)=6
よって左→右は成り立たないのでNG

右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0
(a+b+c)^2-ab-bc-ca=0

どうしたらいいですか?
あとあっていますか?
教えていただけませんか?

次の問題は、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
(1) a=b=cは、a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0である。
(2)a=b=cは、 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0である。

僕の答え
(1)必要条件
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2-(1*1)-(1*1)-(1*1)=0
よって左→右はOK
右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
(a+b-c)^2-3ab+bc+ca=0

(2)必要条件でも十分条件で...続きを読む

Aベストアンサー

えーと、まず、
P⇒Q なら、PはQに対する十分条件。
Q⇒P なら、PはQに対する必要条件。
P⇒QかつQ⇒Pなら、PはQに対する必要十分条件。

ここでは a=b=c がなんなのかを問題とすることにします。

1) a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 1/2 * ( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ) = 0
なので、解は a=b=c 従って必要十分条件です。

2) a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = 1/2 * ( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 ) = 0
なので、 a=b=c=0 従って、

a=b=c=0 ⇒ a=b=c ですが a=b=c ⇒ a=b=c=0 は成り立たないので、必要条件です。

Q必要条件・十分条件・必要十分条件

次の【 】のなかには、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
P⇒Q なら、PはQに対する十分条件。
Q⇒P なら、PはQに対する必要条件。
P⇒QかつQ⇒Pなら、PはQに対する必要十分条件。
ということです。

(1)a^2+b^2=0は、|a-b|=|a+b|であるための【 】
(2)ab=0は、|a-b|=|a+b|であるための【 】

絶対値のやり方わかりません?
回答とやり方を教えていただけませんか?

Aベストアンサー

a^2+b^2=0なら
|a-b|^2-|a+b|^2
=|a^2+b^2-2ab|-|a^2+b^2+2ab|
=|-2ab|-|2ab|=0
よって必要条件

|a-b|=|a+b|なら
(a, b)=(0, 1)でも成立するが
a^2+b^2=1なので十分条件でない


ab=0なら
|a-b|^2-|a+b|^2
=|a^2+b^2-2ab|-|a^2+b^2+2ab|
=|a^2+b^2|-|a^2+b^2|=0
で必要条件

|a-b|=|a+b|ならa>=bとして|a-b|=(a-b)なので
(a-b)^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2
ab=0なので十分条件
b>aもほぼ同じです

Q必要条件か十分条件か必要十分条件かなんでもないのか?

実数を係数とするxの整式f(x)が、2次式(x-a)(x-b)で割り切れるためには、f(a)=f(b)=0が成り立つことが
(     )である。
という問題です。
(x-a)(x-b)で割り切れるということは、f(x)=(x-a)(x-b)Q(x) とおけるのでしょうか?またその場合、これはいったい何条件なのでしょうか?


もうひとつお願いしたいんですが、
a^2+b^2<a+b が成り立つには、a>0 または b>0が成り立つことが(    )である。
という問題です。
a^2+b^2<a+bを変形するのでしょうか?どうやって示すか見当がつきません。

回答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

おっしゃるとおり、(x-a)(x-b)で割り切れるということは
f(x)=(x-a)(x-b)Q(x) とおけるということです。
aとbが異なる値であれば、これはf(a)=f(b)=0と同値、つまり答えは必要十分条件のように見えます。
しかし、a=bの場合を考えるとf(a)=0を示しただけでは
f(x)=(x-a)Q(x) とおけることを示したに過ぎません。
つまり、f(a)=0であることは「必要」だけれども割り切れることを示すために「十分」ではない。
ということで、必要条件でいいのではないでしょうか。

ちなみに、このような問題を考えるときは常に
「条件1から条件2は導けるか」「条件2から条件1は導けるか」
の2点を考え、結果によって答えが決まります。
2つ目の問題で、
a^2+b^2<a+b → a>0 または b>0
a^2+b^2<a+b ← a>0 または b>0
が成り立つかどうか考えましょう。
成立することを示すには証明、成立しないことを示すには反例が必要です。
→は対偶を考えると「a<=0かつb<=0ならばa^2+b^2>=a+b」
となります。
左辺>=0,右辺<=0なのでこれは真です。
←はa=1,b=0のとき成り立たないので偽。
よって答えは必要条件です。

おっしゃるとおり、(x-a)(x-b)で割り切れるということは
f(x)=(x-a)(x-b)Q(x) とおけるということです。
aとbが異なる値であれば、これはf(a)=f(b)=0と同値、つまり答えは必要十分条件のように見えます。
しかし、a=bの場合を考えるとf(a)=0を示しただけでは
f(x)=(x-a)Q(x) とおけることを示したに過ぎません。
つまり、f(a)=0であることは「必要」だけれども割り切れることを示すために「十分」ではない。
ということで、必要条件でいいのではないでしょうか。

ちなみに、このような問題を考えるとき...続きを読む


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