コンニチワ
必要条件、十分条件、必要十分条件について
区別の仕方がいまいちよくわかりません
分かる方教えて下さい
数Aの分野です
よろしくお願いします

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A 回答 (12件中11~12件)

ウソこきました。



a=0の時、一次式になり、b<>0であれば、根を持ちます。

だから、下で、1)2)を同時に充たすとこは、下の2次方程式が実根を持つための
十分条件です。

b^2+4ac>=0..............1)

a<>0,または、a=0且つb<>0...3)

1)3)を同時にみたすことが(実)根を持つための必要十分条件です。

多分こんどはOK。
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30年前の数学系です。

高校生ですね?一部ボケが入っているかもしれない。

「AはBであるための必要条件である」とは、その名のとおり、「Bであるためには必ず、条件Aを充たさなくてはならん」という意味です。例外は許されません。
言葉を変えて言うと、「Bならば(必ず)Aである」ということです。

「AはBであるための十分条件である」とは、「Aならば(必ず)Bである」ということです。

「AはBであるための必要十分条件である」とは、以上で分かるとおり、「AならばBであり、BならばAである」ということです。

例を挙げましょう。2次方程式 y=ax^2+bx+c が(実)根を持つための必要条件として、

b^2+4ac>=0..............1)

が挙げられます。しかし十分条件ではありません。

a<>0....................2)

であることが必要です。したがって、
1)2)を同時に充たすことが根を持つための必要十分条件となります。
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Q十分条件、必要条件、必要十分条件について

十分条件は範囲がきついもので必要条件は範囲がゆるいものと聞いたんですがじゃあ必要十分条件はどうかんがえたらいいのか教えてください

あと十分条件、必要条件、必要十分条件についてもっとわかりやすい方法があったら教えてください

Aベストアンサー

まず、定義はP⇒Qが真のとき(”PならばQ”が成り立つとき)、PはQであるための十分条件、QはPであるための必要条件といいます。
どっちがどの条件だか混乱するかもしれませんが、十要(重要)条件と覚えれば、迷いません。(私は)
そして、必要十分条件とはP⇔Qが真{”PならばQ”、”QならばP”}の両方が成り立つときを言います。

言葉だけだとわかりにくいと思いますので、問題を解くときはベン図をりようすればわかりやすいでしょう

具体例(引用)です。
偏差値40の人と偏差値50の人と偏差値60の人と偏差値50の大学がある
偏差値が40あることは偏差値50の大学に入るのに必要だが十分ではない (不足)
偏差値が50あることは偏差値50の大学に入るのに必要であり十分である (適当)
偏差値が60あることは偏差値50の大学に入るのに十分だが必要ではない (過剰)

Q必要条件?十分条件?必要十分条件?

こんにちは。
例えばの話ですが、
y=f(x)の最大値を求めよ
という問題があったとして、その最大値はy=f(x)であるためのなんらかの条件となっているのでしょうか?
それともこれに必要条件などの議論を持ち込むのは間違っているのでしょうか?
最近数学の問題を見るといつも、これは必要条件なのか?十分条件なのか?それとも必要十分条件なのか?と考えてしまい、全然問題を解くのに集中できません。
今まではこんなこと考えることはなかったのですが、今は気になってしまい、とても困っています。
どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2です。話を単純化してみます。一つずつお確かめください。
以下の記述は、すべて同じことを言っています。

(1) Aが成立すればBは成立する。
(2) 「Aが成立すればBは成立する」という命題は「真」である。
(3) A→B
(4) AはBの十分条件である。
(5) BはAの必要条件である。
(6) Bが成立しなければAは成立しない。

A(方程式、不等式、またはその他の命題)の解とは、Aの必要条件Bをできるだけ簡単な形で記述したものです。

ただし、問題の性質によっては、求めた解が必要かつ十分であることが自明の場合があります。お尋ねの「yの最大値」は、答が1つに決まっていますから、求められた解Bは、出題Aの必要条件であると同時に十分条件でもあり、計算に間違いがない限り正解とされます。

しかし「yの最大値を与えるxの値を求めよ」という出題であれば、答が1つとは限りませんから、偶然に見つけた1つの解を書いても、それは十分条件にすぎないので、正解とされません。

Q必要条件、十分条件、必要十分条件・・・・

実数cに関する条件|c|≦2を考える。
x<1ならばcx<2というcに関する条件は|c|≦2が成り立つための(1)必要条件であるが十分条件でない(2)十分条件であるが必要条件でない(3)必要十分条件である(4)必要条件でも十分条件でもない
という問題で解答は(2)なんですが
解き方、考え方がわかりません・・・
たぶん問題の意味もわかっていないんだと思います・・・

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「ズバリ言うわよ!」(古いかな?)というのは、よくないでしょうから、まあ、ヒントを少し。ただし、厳密に言うと、数学IIの不等式と領域のあたりを使うヒントですが。
 最初の方の回答通り「x<1ならばcx<2というcに関する条件」について、考えることでしょうね。
 実は、これが考えにくいのが、この問題の難しさでしょう。グラフを考えるのが一つの手だと思いますが、いかがですか。
 y=cxのグラフがx<1の範囲で、必ずy<2となるcとは、どのようなものでしょう。これを考えれば、「x<1ならばcx<2というcに関する条件」とは何かを考えたことになります。
 さて、y=cxのグラフは、cが負だと、傾きが負の直線です。xがマイナスになると、どうでしょうか。xが-1000、-100000とかの時、x<1は満たしています。果たして必ずy<2になるのでしょうか?
 次に、cが0以上のとき、このグラフがx<1の範囲で必ずy<2となるcの範囲は?
 こう考えると( )≦c<( )という感じでcの範囲が出ると思いますが、どうですか?
 ここまでくれば、答えまでは、すぐですよ。

「ズバリ言うわよ!」(古いかな?)というのは、よくないでしょうから、まあ、ヒントを少し。ただし、厳密に言うと、数学IIの不等式と領域のあたりを使うヒントですが。
 最初の方の回答通り「x<1ならばcx<2というcに関する条件」について、考えることでしょうね。
 実は、これが考えにくいのが、この問題の難しさでしょう。グラフを考えるのが一つの手だと思いますが、いかがですか。
 y=cxのグラフがx<1の範囲で、必ずy<2となるcとは、どのようなものでしょう。これを考えれば、「x...続きを読む

Q必要条件、十分条件、必要十分条件

次の問題は、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
(1) a=b=cは、a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0である。
(2)a=b=cは、 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0である。

僕の答え
(1)必要条件
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2-(1*1)-(1*1)-(1*1)=0
よって左→右はOK
右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
(a+b-c)^2-3ab+bc+ca=0

(2)必要条件でも十分条件でもない
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2+(1*1)+(1*1)+(1*1)=6
よって左→右は成り立たないのでNG

右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0
(a+b+c)^2-ab-bc-ca=0

どうしたらいいですか?
あとあっていますか?
教えていただけませんか?

次の問題は、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
(1) a=b=cは、a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0である。
(2)a=b=cは、 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0である。

僕の答え
(1)必要条件
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2-(1*1)-(1*1)-(1*1)=0
よって左→右はOK
右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
(a+b-c)^2-3ab+bc+ca=0

(2)必要条件でも十分条件で...続きを読む

Aベストアンサー

えーと、まず、
P⇒Q なら、PはQに対する十分条件。
Q⇒P なら、PはQに対する必要条件。
P⇒QかつQ⇒Pなら、PはQに対する必要十分条件。

ここでは a=b=c がなんなのかを問題とすることにします。

1) a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 1/2 * ( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ) = 0
なので、解は a=b=c 従って必要十分条件です。

2) a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = 1/2 * ( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 ) = 0
なので、 a=b=c=0 従って、

a=b=c=0 ⇒ a=b=c ですが a=b=c ⇒ a=b=c=0 は成り立たないので、必要条件です。

Q必要条件・十分条件・必要十分条件

次の【 】のなかには、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
P⇒Q なら、PはQに対する十分条件。
Q⇒P なら、PはQに対する必要条件。
P⇒QかつQ⇒Pなら、PはQに対する必要十分条件。
ということです。

(1)a^2+b^2=0は、|a-b|=|a+b|であるための【 】
(2)ab=0は、|a-b|=|a+b|であるための【 】

絶対値のやり方わかりません?
回答とやり方を教えていただけませんか?

Aベストアンサー

a^2+b^2=0なら
|a-b|^2-|a+b|^2
=|a^2+b^2-2ab|-|a^2+b^2+2ab|
=|-2ab|-|2ab|=0
よって必要条件

|a-b|=|a+b|なら
(a, b)=(0, 1)でも成立するが
a^2+b^2=1なので十分条件でない


ab=0なら
|a-b|^2-|a+b|^2
=|a^2+b^2-2ab|-|a^2+b^2+2ab|
=|a^2+b^2|-|a^2+b^2|=0
で必要条件

|a-b|=|a+b|ならa>=bとして|a-b|=(a-b)なので
(a-b)^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2
ab=0なので十分条件
b>aもほぼ同じです

Q必要条件か十分条件か必要十分条件かなんでもないのか?

実数を係数とするxの整式f(x)が、2次式(x-a)(x-b)で割り切れるためには、f(a)=f(b)=0が成り立つことが
(     )である。
という問題です。
(x-a)(x-b)で割り切れるということは、f(x)=(x-a)(x-b)Q(x) とおけるのでしょうか?またその場合、これはいったい何条件なのでしょうか?


もうひとつお願いしたいんですが、
a^2+b^2<a+b が成り立つには、a>0 または b>0が成り立つことが(    )である。
という問題です。
a^2+b^2<a+bを変形するのでしょうか?どうやって示すか見当がつきません。

回答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

おっしゃるとおり、(x-a)(x-b)で割り切れるということは
f(x)=(x-a)(x-b)Q(x) とおけるということです。
aとbが異なる値であれば、これはf(a)=f(b)=0と同値、つまり答えは必要十分条件のように見えます。
しかし、a=bの場合を考えるとf(a)=0を示しただけでは
f(x)=(x-a)Q(x) とおけることを示したに過ぎません。
つまり、f(a)=0であることは「必要」だけれども割り切れることを示すために「十分」ではない。
ということで、必要条件でいいのではないでしょうか。

ちなみに、このような問題を考えるときは常に
「条件1から条件2は導けるか」「条件2から条件1は導けるか」
の2点を考え、結果によって答えが決まります。
2つ目の問題で、
a^2+b^2<a+b → a>0 または b>0
a^2+b^2<a+b ← a>0 または b>0
が成り立つかどうか考えましょう。
成立することを示すには証明、成立しないことを示すには反例が必要です。
→は対偶を考えると「a<=0かつb<=0ならばa^2+b^2>=a+b」
となります。
左辺>=0,右辺<=0なのでこれは真です。
←はa=1,b=0のとき成り立たないので偽。
よって答えは必要条件です。

おっしゃるとおり、(x-a)(x-b)で割り切れるということは
f(x)=(x-a)(x-b)Q(x) とおけるということです。
aとbが異なる値であれば、これはf(a)=f(b)=0と同値、つまり答えは必要十分条件のように見えます。
しかし、a=bの場合を考えるとf(a)=0を示しただけでは
f(x)=(x-a)Q(x) とおけることを示したに過ぎません。
つまり、f(a)=0であることは「必要」だけれども割り切れることを示すために「十分」ではない。
ということで、必要条件でいいのではないでしょうか。

ちなみに、このような問題を考えるとき...続きを読む

Q論理と集合 必要条件・十分条件

(1) 実数x,y,zに対し、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための
必要条件であるが十分条件でない

(2) 整数nについて、√nが無理数であることは、nが奇数であるための
必要条件でも十分条件でもない

(3) a、bは実数とする。b<0であることは、2次方程式x^2+ax+b=0が実数解をもつための
十分条件であるが必要条件でない


全て求め方が全くわかりません…。
どのように考え計算すれば良いでしょうか。

Aベストアンサー

判別式D=b^2-4acに当てはめれば良いのですよね?
>> b<0であれば
a^2≧0>4bとなるので、↑ここがわかりません

>この問題の判別式はD=a^2-4bです。
b<0であれば4b<0です。一方a^2は常にa^2≧0です。
従って、常にa^2>4bすなわちa^2-4b>0が成り立ち
x^2+ax+b=0は実数解をもつので、
(b<0)→(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)となり、
"矢の根元"のb<0は十分条件になります。

>> しかし、b<0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立たない。
なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b>0すなわちb>0でも成り立つからである。
↑ここがわかりません。

>x^2+ax+b=0が実数解をもつならD=a^2-4b≧0
です。この式はb>0であってもa^2≧4bを満たす
aであれば成り立ちます。
従ってx^2+ax+b=0が実数解をもってもb<0とは
限らず、
常に(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)→(b<0)
が成り立つわけではないので、"矢の先"の(b<0)
は必要条件にはなりません。

判別式D=b^2-4acに当てはめれば良いのですよね?
>> b<0であれば
a^2≧0>4bとなるので、↑ここがわかりません

>この問題の判別式はD=a^2-4bです。
b<0であれば4b<0です。一方a^2は常にa^2≧0です。
従って、常にa^2>4bすなわちa^2-4b>0が成り立ち
x^2+ax+b=0は実数解をもつので、
(b<0)→(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)となり、
"矢の根元"のb<0は十分条件になります。

>> しかし、b<0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立たない。
なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b>0すなわちb>0でも成り立つからである。
↑...続きを読む

Qーという式になるための必要十分条件をaとbの文字の関係式であらわせ、というのは、ーという式になるaと

ーという式になるための必要十分条件をaとbの文字の関係式であらわせ、というのは、ーという式になるaとbの関係式を表せ、と同じ様に考えて平気ですか?

Aベストアンサー

>ーという式になるための必要十分条件をaとbの文字の関係式であらわせ
(ーという式) = (aとbの関係式)

>ーという式になるaとbの関係式
(ーという式) ⊃ (aとbの関係式)

Q必要条件と十分条件の問題が分かりません。

次の□にあてはまるものを(1)~(4)の中から選んでください。

(1)実数x、yについて、xy<0は、x^2+y^2>0であるための□。
(2)△ABCの3辺の長さをBC=a、CA=b、AB=cとします。cを最大辺とするとき、(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0は、△ABCが直角三角形であるための□。

(1)必要条件であるが十分条件でない
(2)十分条件であるが必要条件でない
(3)必要十分条件である
(4)必要条件でも十分条件でもない

ちなみに答えは(1)(2) (2)(1)
です。

Aベストアンサー

A⇒Bの時。
 Bは、Aの必要条件。
 Aは、Bの十分条件。


「千種区が名古屋市内である」 ならば 「千種区【は】愛知県内である」。
 「千種区が愛知県内である」ことは、「千種区が名古屋市内である」ための必要条件。
 「千種区が名古屋市内である」ことは、「千種区が愛知県内である」ための十分条件。


xy<0 ⇒ x^2+y^2>0 だから、
 xy<0 は x^2+y^2>0 であるための十分条件。
 しかし、xy>0 の場合も x^2+y^2>0 だから、 x^2+y^2>0 ⇒ xy<0 とはならず、
 xy<0 は x^2+y^2>0 であるための必要条件ではない。


(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0
 a=b もしくは a^2+b^2=c^2
 a=b ⇒ △ABCが直角三角形 とは言えないから、
 (a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 ⇒ △ABCが直角三角形 とも言えない。
 よって、(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 は △ABCが直角三角形であるための十分条件ではない。
 △ABCが直角三角形 ⇒ a^2+b^2=c^2 。
 また、a^2+b^2=c^2 ⇒ (a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 。
 よって、△ABCが直角三角形 ⇒ (a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0
 よって、(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 は △ABCが直角三角形であるための必要条件。
 

A⇒Bの時。
 Bは、Aの必要条件。
 Aは、Bの十分条件。


「千種区が名古屋市内である」 ならば 「千種区【は】愛知県内である」。
 「千種区が愛知県内である」ことは、「千種区が名古屋市内である」ための必要条件。
 「千種区が名古屋市内である」ことは、「千種区が愛知県内である」ための十分条件。


xy<0 ⇒ x^2+y^2>0 だから、
 xy<0 は x^2+y^2>0 であるための十分条件。
 しかし、xy>0 の場合も x^2+y^2>0 だから、 x^2+y^2>0 ⇒ xy<0 とはならず、
 xy<0 は x^2+y^2>0 であるため...続きを読む

Q実関数fがaで微分可能である為には次の2条件が必要十分条件

下記の命題が示せず困っています。

公理A Rは完備順序体である。
公理B R*はRの真拡大順序体である。
公理C(関数の公理)任意のn変数実関数fに対し,fの自然延長と呼ばれるn変数超実関数
f*が対応する。特にR*の体演算はRの体演算の自然延長である。
公理D(解の公理)二つの式系がちょうど同じ実解を持つならばそれらはちょうど同じ
超実解を持つ。
[定義1]x∈R*が無限小超実数であるの定義は0<∀r∈R,|x|<r
[定義2]x∈R*が有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<r
[定義3]x,y∈R*において、x≒yの定義はx-yが無限小超実数である。
[定義4]R*∋∀x:有限超実数に対し,x≒yなるy∈Rがただ一つ存在する。このyをxの標
準部分と呼び,st(x)と書く。
[定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
[定義6]fのaでの勾配が存在する時,fはaで微分可能だと言う。
[定義7]実関数fの導関数f'とは次のような関数である。
(1) fのxでの勾配が存在すればf'(x)はその勾配に等しい。
(2) fのxでの勾配が存在しなければf'(x)は定義されない。

という定義です。それで

[問]実関数fがaで微分可能である為には次の2条件が必要十分条件である。
(1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
(2) 0でないあらゆる無限小dxに対し,商(f(a+dx)-f(a))/dx
は有限超実数で共通の標準部分を持つ。

という命題を証明したく思っていますがなかなか出来ません。
まず,
「実関数fがaで微分可能」⇒(1)
を示そうと思うのですが背理法でa≒∃x∈R*;f(x)は定義されない。
と仮定してみましたがここから先に進めません。

「実関数fがaで微分可能」⇒(2)
についても(f(a+dx)-f(a))/dxが有限超実数になる事は
S:=st((f(a+dx)-f(a))/dx)∈Rが存在するので
(f(a+dx)-f(a))/dx≒Sなので(f(a+dx)-f(a))/dx-Sは無限超実数で
0<∃r∈R;|(f(a+dx)-f(a))/dx-S|<r
よって|(f(a+dx)-f(a))/dx|<|S|+r(∈R)と書け、(f(a+dx)-f(a))/dxは有限超実数で
ある。
∀dx1,dx2∈R*,st((f(a+dx1)-f(a))/dx1)=st((f(a+dx2)-f(a))/dx2)が成立する事は
微分可能と勾配の定義から∀dx∈R*,S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)なので
st((f(a+dx1)-f(a))/dx1)=st((f(a+dx2)-f(a))/dx2)が言える。

(1)と(2)⇒「実関数fがaで微分可能」
は(2)から丈で言え,(1)は不要な気もするのですが何処で(1)の条件を使うのでしょう
か?

下記の命題が示せず困っています。

公理A Rは完備順序体である。
公理B R*はRの真拡大順序体である。
公理C(関数の公理)任意のn変数実関数fに対し,fの自然延長と呼ばれるn変数超実関数
f*が対応する。特にR*の体演算はRの体演算の自然延長である。
公理D(解の公理)二つの式系がちょうど同じ実解を持つならばそれらはちょうど同じ
超実解を持つ。
[定義1]x∈R*が無限小超実数であるの定義は0<∀r∈R,|x|<r
[定義2]x∈R*が有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<r
[定義3]x,y∈R*において、x≒yの定義はx-yが無限...続きを読む

Aベストアンサー

> (1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
これは厳密には「x≒aなる全ての超実数xでf*(x)が定義されている」ね。自然延長をいちいち*で表すのは面倒だから省略してfと書くことも多いけど。

それで「fがaで微分可能ならばfはaのある近傍で定義されている」ので、当然にfの自然延長f*はmonad(a)で定義されます。
# ここで monad(a):={x|x≒a}

上をもう少し詳細に見ましょう。
「aの近傍で定義される」は、きちんと書くと
∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f(x)が定義される)
で、f*は自然延長ですから当然に
∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f*(x)が定義される)
です。そして
monad(a)⊆{x| |x-a|<r}
ですから、x≒aならf*(x)は定義されます。

標準数学での定義と超準解析での定義の間の同値性はどれも大体において同じような手順で示すことになります。
標準数学での定義をきちんと押さえておけば難しいところはないので、標準数学でのエンティティと超準解析でのエンティティの関係を丁寧に確認していくようにしましょう。

> (1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
これは厳密には「x≒aなる全ての超実数xでf*(x)が定義されている」ね。自然延長をいちいち*で表すのは面倒だから省略してfと書くことも多いけど。

それで「fがaで微分可能ならばfはaのある近傍で定義されている」ので、当然にfの自然延長f*はmonad(a)で定義されます。
# ここで monad(a):={x|x≒a}

上をもう少し詳細に見ましょう。
「aの近傍で定義される」は、きちんと書くと
∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f(x)が定義される)
で、f*は自然延長ですから当然に...続きを読む


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