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コンニチワ
必要条件、十分条件、必要十分条件について
区別の仕方がいまいちよくわかりません
分かる方教えて下さい
数Aの分野です
よろしくお願いします

A 回答 (12件中1~10件)

A、Bは集合とし、AはBに含まれている状態とします。

すなわちA⊆B。これが必要とか十分という言葉の前提です。このとき教科書等では“AはBの十分条件”というと書いてます。この言葉の意味はですね、あるxという元がBに入っていることを知りたい時に、もしxがAの中に入っていることを言えれば、それで“十分”でしょ。だってAはBに含まれているんだから。これを言葉を換えて言えば“xがBの元であるためにはxがAの元であれば十分である”といえます。さらに言葉を換えると“xがAの元であることはxがBの元であるための十分な条件である”といえます。これをさらに短縮すると“AはBの十分条件である”言えるわけです。

つぎに必要条件ですが教科書等ではA⊆BのときBはAの必要条件というと書いてます。これはですね、あるxという元がAに入っていることを言いたいときに、少なくともBに入っていることは“必要”ですよね。だってAはBに含まれているんだから、BにはいっていなければAにもはいってない。つまり“xがBの元であることがxがAの元であるために必要な条件”なわけです。すなわち“BはAの必要条件”というわけです。
少し例を出しましょう。A={x|xは6の倍数}、B={x|xは3の倍数}としますと“xが6の倍数ならxは3の倍数”ですからA⊆Bが成立します。そこでxが3の倍数であることを言うにはxが6の倍数であると言えれば十分である。したがってAはBであるための十分な条件と言える。またxが6の倍数であるためにはxは3の倍数であることが必要である。したがってxが6の倍数であることはxが3の倍数であることが必要な条件である。すなわちBはAであるための必要条件です。
必要、十分という言葉はこういう事情で使われたのでしょう。

一般にA⊆Bのとき“AならばB”と言うことに注意してください。これは“x∈Aならばx∈B”すなわちA⊆Bと言う意味に解釈できます。もしこれに続き“x∈Bならばx∈A”も同時に成り立てばB⊆Aも成り立ちA=Bが言えます。このことは一般の集合A,Bにも言えることです。

実践的な例を出します。一次方程式3x+2=5・・・(1)を解きます。
まず2を移行して3x=3・・・(2)。両辺を3で割ってx=1・・・(3)
これを必要条件十分条件を考慮して分析しましょう。まず(1)を満たす解の集合をAとします。(2)を満たす解の集合をBとします。(3)を満たす解の集合をCとします。そこで(2)の式は(1)から導き出されましたから(1)の解は、すべて(2)を満たすことがわかります。すなわちA⊆Bです。同じく(3)は(2)の式から導かれましたから(2)を満たす解はすべて(3)を満たします。したがってA⊆B⊆Cが成り立ちます。すなわち上の回答は厳密に言うとCの元は1一個ですから“(1)に解があるならばそれは1である”ということが証明されただけなのです。(1)に解が存在するかどうかについては何も言ってないのです。ところがですね(笑、うまいことに(3)から(2)導かれます。(3倍してね!)また(2)から(1)をみちびきだせるのもあたりまえでしょ(笑。ということはC⊆B⊆Aも成り立つんです。すなわちA=B=Cつまり3つの解集合は等しかったんです。だから(3)が答えなんです。【一般にAならばBが成り立っているときAはBに含まれています。】【BはAより広がっていることに注意してください。】

もうひとつ。x+y=3・・・(1)x-y=1・・・(2)
両辺を足して2x=4・・・(3)x=2・・・(4)(4)を(1)代入して2+y=3・・・(5) y=1・・・(6)

ここでx=2を(2)代入してもy=1が得られますがどうしてでしょう。(1)
と(2)を同時に満たす解の集合を“(1)かつ(2)”と書き、“ならば”を⇒で代用しA⇒BかつB⇒AをA⇔B(A=Bを意味する)で代用します。すると先ほどの解法を分析すると(1)かつ(2)⇔(1)かつ(3)⇔(1)かつ(4)⇔(4)かつ(5)⇔(4)かつ(6)。(4)かつ(6)から順にたどって(1)かつ(2)に戻れることを確認してください。この分析で(1)かつ(3)のところを(2)かつ(3)としても(4)かつ(6)にたどり着きますし元の(1)かつ(2)にも戻れます。だからx=1をどちらに代入しても良いのです。

必要条件十分条件は数学の道しるべです。これを十分に使いこなせないと自信を持って問題が解けません。つまり必要条件十分条件を理解することは数学ができるための必要条件といえます(笑
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数学的な議論は他の方がきっちりとやっているようなので、私はそれぞれの条件の「気分」について書きます。



必要条件の「気分」は、結果を認めてから前提条件を探る感じです。十分条件の「気分」は、なにか強い条件を持ち出して望ましい結果に持ち込む感じです。


(1) 「スポーツ選手として成功する」ための必要条件は「努力をすること」です。
  (成功してたら、努力してるはずですよね。)
(2) 「テストで0点をとる」ための十分条件は「名前を書かないこと」です。
  (0点をとる最終兵器です。)

言葉をかえると、
必要条件は「絶対にそうなってないとダメなんだけど、それだけじゃ足りないかもしれない」条件のことで、十分条件は「かならず結論が成り立つのだけど、絶対にそれじゃないとダメってわけでもない」条件のことです。

必要条件や十分条件についての勘所は、たくさん問題を解いているうちに身につきます。自分なりの理由を付けて解いていけば、ある日急に分かるようになると思います。(大学生でも分かりにくいので、高校生が分からないのも無理はないです。)
がんばって。
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私はこういう具合に理解しました。

長いですが、がんばって読んでください。
皆さんの覚え方もとても覚えやすいのですが、このように理解して覚えておくと、記憶に残りやすいですし、応用が利きます。
『「A⇒B」を示すためにAに(必要/十分)な条件である』ととらえてください。

『AがBである(Bに含まれる)ことを確かめるためには、Aがこの性質をもつことは必要だけど、それだけで十分とはいえない』という条件が、必要条件です。
「整数nは2である」ということを示すためにnに必要な条件(必要条件)の一例として「nは偶数である」が考えられますが、偶数である、という条件だけでは、「整数nは2」とは言いきれません。よって、これは必要条件ですが、十分条件とはいえません。
逆に、nが偶数でなかった時、nが2になることはありえません。

『AがBである(Bに含まれる)ことを確かめるためには、Aがこの性質をもつことがわかればそれで十分』という条件が、十分条件です。
「整数mは偶数である」ということを示すためのmの十分条件の一例として「mは2である」が考えられます。2は偶数なので、その時点でmが2であることは決まってしまいます。でも、mが2でなかった場合も、mが4,6,8…ならこれは偶数ですから、mには4,6,8…の逃げ道が残されています。これが、十分条件です。

必要条件と十分条件の関係ですが、これはちょうど逆になっています。
必要条件とされる条件が満たされても、必ずしも題意は○(正しい)じゃない。
でも、満たされなければ、題意は絶対に×(まちがい)。
十分条件が満たされれば、題意は絶対に○。
でも、十分条件が満たされなくても、必ずしも題意が×とは限らない。
こんな具合です。
で、必要十分条件ですが、これは必要条件と十分条件のいいとこ取りと考えてください。
必要十分条件が満たされれば、題意は絶対に○。
満たされなければ、題意は絶対に×。
ということです。必要十分条件は万能です。

まとめると、
『その条件が満たされても題意を示すには十分じゃないけど、必要(必ず要する)なわけだから満たされなければお話しにならない』というある意味ゆるい(満たされる範囲が比較的広い)けれど逃げ道を許さない条件が必要条件で、
『その条件が満たされれば題意は一発で示されるけど、満たされてなくても逃げ道は残されている』という厳しい(満たされる範囲が比較的狭い)けれども逃げ道の残された条件が十分条件です。
理解できましたか。
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たとえば


pはqであるための○○条件である。
○○に入るのは?
という問題で

p⇒q
q⇒pを考えます。

そして、
(ⅰ)p⇒qが真の場合
  pのとこの矢印をみると
   
     |  ―――――――
 ーーー十ーーー
     |  ―――――――

漢数字の「十」が入ります!
よって「十」分条件が成り立つ!
(ⅱ)q⇒pが真の場合
  pのところの矢印をみると

  ちょうど「必」という字に重なるように
  矢印の斜めの部分が来ます!!
よって「必」要条件が成り立つ!

あとは、それの組み合わせです

注意点とすれば
「pはqであるための…」
の左側にある「p」のところを見ることです!

質問の答えになってないような気もしますが
こうやって見分けたらどうですか??
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 みなさん、本格的説明をされていますので、シロウトっぽい説明をすれば、


 「野球で点を取ることは、勝つための必要条件」(点をいれなきゃあ勝てない)
 「相手を0点に抑えることは、負けないための十分条件」(とられなきゃ負けることはない)
 「相手チームより多くの点を取ることは、勝つための必要十分条件」(いずれも最終回まですんで、ということで)

 よく、延長戦のリミットがあるとき、最終回のオモテを0点に抑えたチームに対して、解説者が「これで負けはなくなりました」といってます。「負けないための十分条件」はひとつ満たしたわけですね。
 その裏、1点取ればサヨナラ勝ちですが、「相手より1点多くとった」ことによって、「勝つための必要十分条件」を満たしたので、それ以上続ける意味がなくなり、ノーアウトであっても試合終了です。(サヨナラホームランの場合は、1点で勝てるときに満塁ホームランを打っても、ちゃんと4点はいりますが)
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ほぼ出尽くしていますが,少しだけ。


高校生のころ,こんな覚え方を聞きました。
「A→Bを救援物資の流れと考えると,Aは物資が十分あり,Bは物資を必要としている。」

ただ,面白い事は面白いのですが,それ以前にまずAとBの関係がきちんととらえられないとダメですね。
つまり,AとBという2つの命題が与えられた時,A→Bなのか,B→Aなのか,どちらでもないのか。
Venn図(orimotoさんの説明に出てきた図です)でいうと,AがBにすっぽり囲まれるのか,BがAに囲まれるのか,ぴったり重なるのか,一部重なるのか,全く重ならないのか,ということです。

それに加えて,単なる定義の棒暗記ではなく,できれば「必要」「十分」という用語の(日常用語としての)意味と関連させて理解しておくと,度忘れしたりごちゃごちゃになったりせずにすみます。
stomachmanさんのおっしゃるところの,「語感」でとらえるわけですね。

そこまでできていれば,あえて「救援物資」などの暗記法を持ちださなくても大丈夫でしょう。
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理屈ではなく、単なる覚えかたですが


「矢印が必要。矢印がなくても十分。」
A→Bとしたとき、矢印の先端があるほう(B)が必要条件、
ないほう(A)が十分条件というわけです。
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ぼくはビジュアル(図形的)に理解しています。



Bという大きな円、その中にすっぽり入ったAという円を考えてください。Aの領域は必ずBの領域に入っている。これはどう解釈できるかというと、Aの領域は「十分に」Bの領域に入っている。しかしBの領域は、必ずしもAの領域だけではない。つまりBの領域にAが入っていることは「必要」ではあるが、それがB領域のすべてではない(「十分」ではない)。これを「Aは十分条件、Bは必要条件」という。事実、動物(B)は犬(A)の必要条件だが十分条件ではない。他に猫や猿もいる。犬(A)は、動物(B)の十分条件だが必要条件ではない。犬は十分に(絶対)動物だが、動物のすべてが犬ではない、となります。

必要十分条件とは、AとBの2つの円が重なったとき。

いかがでしょうか?
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用語の定義は既に詳しく解説されていますが、やっぱりこれは「語感」の問題ですよね。



A→B (AであるならばBである)という命題同士の関係の話です。

A→Bであって、しかももしAであることが分かっていれば、Bかどうか確かめなくても間違いなくBである。つまりAであるだけでBが成り立つには「十分」です。だから「AはBの十分条件」と言う。

一方、A→Bである場合、もしBであることが分かっていても、だからと言ってAであるとは言えない。(Aが成り立たなくてもBが成り立つことだってありうる。)
しかしながら、A→Bである場合、Aが成り立つためには、少なくともBが成り立たなくちゃいけない。(Bが成り立っていないのなら、それだけで、Aではないとハッキリ言える。)従って、Aが成り立つためにはBであることは少なくとも「必要」です。だから「BはAの必要条件」と言う。

つまり、「AはBの十分条件」というのは「BはAの必要条件」と全く同じ意味です。

さて、A←Bであり、しかもA→Bである場合、つまり、Aが成り立つ、ということとBが成り立つ、ということは等価である。同じ事を言い換えただけに過ぎない。この場合、
AはBの十分条件(=BはAの必要条件)であり、しかもBはAの十分条件(=AはBの必要条件)でもある。
これを、AはBの必要十分条件(=BはAの必要十分条件)と言うんですね。
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数Aの分野とのことなので、結論から言うと、



A→B であれば、
矢印の「根元」、つまりAが十分条件、
矢印の「先」、つまりBが必要条件になります。

A←Bでも「根元」「先」という部分では同じです。
この場合、AはBであるための必要条件、
BはAであるための十分条件となります。

A⇔BのようにA・Bともに「根元」であり「先」である場合、
AはBであるための必要十分条件、
BはAであるための必要十分条件ということになります。

なので、わからない時は矢印の方向を考えてみると
いいと思いますよ。

例)
  A:Xは6の倍数である。
  B:Xは3の倍数である。

この場合、6の倍数なら3の倍数は成り立つけど、
3の倍数なら6の倍数というのは成り立ちません。
したがって、A→Bしか成り立ちませんので、
AはBであるための十分条件、BはAであるための必要条件
ということになります。
反例(A←Bにはならない例)として、X=9という例を
あげればいいです。Xは他にもいろいろありますよ。
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