整数問題の必要十分条件の求め方

kを負でない整数とし、

x^2-y^2=k　…(*)

の解(a,b)でa,bがともに奇数であるものを奇数解と呼ぶ。
(*)が奇数解を持つための必要十分条件を求めよ。


この問題では(*)が奇数解をもてば
kは8の倍数であることが知られています。

そこでタイトルの通り求め方なのですが、

k=8n (n:負でない整数) とおくと、nを用いた
2n-1, 2n+1は奇数である。

x=2n+1, y=2n-1をx^2-y^2に代入すると
(2n+1)^2-(2n-1)^2=4n*2=8n=k
したがって、(x,y)=(2n+1,2n-1)は(*)の解である。

よって(*)が奇数解をもつための必要十分条件は
「kが8の倍数であること」


Ｑ.「奇数解をもつ」ならば「kは8の倍数」
という必要条件だけをもう一度証明したみたいで、
これで必要十分条件たりえるのでしょうか？

No.3 回答者： ryn 回答日時： 2006/10/14 05:42

> k=8n (n:負でない整数) とおくと、nを用いた

> 2n-1, 2n+1は奇数である。
> x=2n+1, y=2n-1をx^2-y^2に代入すると
> (2n+1)^2-(2n-1)^2=4n*2=8n=k
> したがって、(x,y)=(2n+1,2n-1)は(*)の解である。
ここのところは k が8の倍数のとき
「少なくとも1組の奇数解を持つ」
というだけで，それ以外の解をもたないとは言えてないのでは？

例えば，k=48 のときは
　x^2 - y^2 = 8*6
となり，質問者さんの論理だと
　x = 2*6+1 = 13
　y = 2*6-1 = 11
が解となるということですが，
　x^2 - y^2 = 169 - 121 = 48
となるので，確かにこれは奇数解となっています．
ところが，
　x = 8 , y = 4
とすると，
　x^2 - y^2 = 64 - 16 = 48
となるので，これも解となっています．

問題の全文を見てみたいところです．

No.2 回答者： motochan7185 回答日時： 2006/10/10 19:23

「(*)が奇数解をもてばkは8の倍数であること」は、

x=2n-1
y=2m-1
(n,mは自然数)と置いて、
x^2-y^2 = (x+y)(x-y)
と変形すれば、
kが8の倍数であることは証明できますね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/10/10 19:03

あれ?

「k が 8の倍数」⇒「奇数解を持つ」
を証明してるように見えるんだけど?
逆の
「奇数解を持つ」⇒「k は 8の倍数」
も証明しとくべきじゃないかなぁ? 「知られています」で済ますんじゃなくって.

この回答への補足

説明不足ですみません。「奇数解を持つ⇒k は 8の倍数」の証明は
「(*)が奇数解を持つための必要十分条件」の前にあった小問です。

補足日時：2006/10/10 19:24