ミクロ経済学 効用最大化

よろしくお願いします！！
　　
　ある消費者は所得のすべてを２財A,Bの購入に充てるとする。効用関数が　U=2ab　(Uは効用水準、aはA財の消費量、bはB財の消費量)である。この消費者が効用を最大化するときのa、bはいくらか。ただし、しょとくは２４０、A財の価格は５、B財の価格は３である。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/07/23 09:19

>ある消費者は所得のすべてを２財A,Bの購入に充てるとする。

効用関数が　U=2ab　(Uは効用水準、aは A財の消費量、bはB財の消費量)である。
>この消費者が効用を最大化するときのa、bはいくらか。ただし、しょとくは２４０、A財の価格は５、B財の価格は３である。

算数語に翻訳すると、
　240 = 5a + 3b が成立つとき、U = 2ab が最大になる点 {a, b} は？
…らしい。

　240 = 5a + 3b → b = 80 - (5/3)a なので、U = 2ab = 2a{80 - (5/3)a} = 160a - (10/3)a^2 。
　dU/da = 160 - (20/3)a　　: a = 24 にて dU/da = 0 (極値)
　d^2U/da^2 = - 20/3　　: a = 24 にて d^2U/da^2 < 0 (極大)
　a = 24 のとき、b = 80 - (5/3)*24 = 40 。

Ans. {a, b} = {24, 40}