No.2ベストアンサー
- 回答日時:
X,Yの確率密度関数をPx(X),Py(Y)とします。
確率密度関数Px(X)とは確率変数Xが(X,X+dX)間になる確率が"Px(X)dX"になる関数Px(X)のことです。
Xは(-1,1)の一様分布ですから、-1<x<1でPx(X)=C(定数),それ以外でPx(X)=0です。
また、Xが(-∞,∞)の間にある確率は"1"ですから
∫[X:-∞→∞]Px(X)dX=∫[X:-1→1]CdX=2C=1
Px(X)=1/2 (A)
となります。
ここからYについて考えますが、XとYは1対1対応ではありませんのでまずはX>0の範囲だけを考えます。この範囲でのYの確率密度関数をP1y(Y),X<0での確率密度関数をP2y(Y)とする。
ここで、Xが(X,X+dX)にあるとき、Yが(Y,Y+dY)にあるとします。
このときの確率が等しくなることから
Px(X)dX=P1y(Y)dY (B)
dXとdYの関係はXとYの関係式 Y=X^2を微分すれば
dY/dX=2X→dY=2XdX (C)
となります。
(A),(C)を(B)に代入すると
(1/2)dX=P1y(Y)*2XdX
Py(Y)=(1/2)/2X=1/(4X)
となります。
この式にY=X^2→X=√Yを代入して
P1y(Y)=1/(4√Y)
となります。今考えているXの変域はXが(0,1)であることからYの変域は(0,1)となります。
Xが(-1,0)の場合も同様に解け、P2y(Y)=1/(4√Y)が得られます。
Py(Y)=P1y(Y)+P2y(Y)=1/(2√Y)
となります。(0<Y<1)
この回答へのお礼
お礼日時:2009/08/04 23:20
とても分かりやすい解説ありがとうございます。
自分のやり方では全然ダメでしたね(笑)
答えが#1のとは違うのですが、#1のは間違っているのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
はっきり言うと, #1 は間違っています. そもそも Y は一様分布にならないです (これは質問者さんも誤解してましたね) し, Y が負のところで有限の確率が出ることもあり得ません.
何かを根本から勘違いしているように見えます.
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
“一様分布U(-1,1)”って、-1から1までの範囲で一定ということですよね?
確率変数Xが、一様分布U(-1,1)にしたがうということは、
-1 ≦ t ≦ 1
において
X(t) = C (Cは定数)
だということです。
すると、
Y(t) = X(t)^2 = C^2
となります。
まず、Yを t=-1 から t=1 の範囲で定積分すると、
∫[t=-1→1]Ydt = ∫[t=-1→1]C^2dt
= C^2∫[t=-1→1]1・dt
= C^2[t][t=-1→1]
= C^2(1 - (-1))
= 2C^2
よって、Yの確率密度関数は、Yを2C^2 で割ったものです。
Yの確率密度関数をyと書けば、
y = Y/(2C^2)
= X^2/(2C^2)
= C^2/(2C^2)
= 1/2
一応、検算すれば、
∫[t=-1→1]ydt = ∫[t=-1→1]1/2 dt
= 1/2∫[t=-1→1]1dt
= 1/2(1-(-1))
= 1
合いました。
ちなみに、これ、
長方形の面積を1にするには、高さを何分の1にすればよいか、
ということと同じことです。
(一様分布の高さ ⇔ 長方形の高さ)
ご参考になりましたら幸いです。
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