ランダウの記号の使い方

ランダウの記号の、大文字のОの使い方で質問があります。

関数f(x),g(x)に対して
lim[x→a]|f(x)/g(x)|=b<∞
が成り立つとき、f(x)=О(g(x)) (x→a)
と表記するそうですが、
では、f(x)=0のときは、g(x)≠0に対しては、
|f(x)/g(x)|=0なので、f(x)=О(g(x)) (x→a)
と表わせるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/08 22:42

表せる。

f(x) = О(g(x)) (x→a) を、「f は g と同じオーダー」と読もうとするから
奇妙な気がするだけで、「f は高々 g のオーダー」と読めば違和感はない。
О( ) の定義は、そうなっているのだから。

ただし、
＞ lim[x→a] |f(x)/g(x)| = b < ∞
＞ が成り立つとき、f(x) = О(g(x)) (x→a)
＞ と表記する
は微妙な書き方で、ウソではないが、
lim[x→a] |f(x)/g(x)| < ∞ でなくても、
f(x) = О(g(x)) (x→a) と書くことはある。

f(x) = О(g(x)) (x→a) の正確な定義は、
limsup[x→a] |f(x)/g(x)| < ∞ であり、
lim[x→a] |f(x)/g(x)| が収束しなくても構わない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/08/08 23:26

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2009/08/08 21:19

そりゃまあ、そう書いても構いませんけど、素直に

f(x)=0
と書いたのでは困る場合というのが思いつきません。どういう状況なんでしょうか。

この回答への補足

いや、まあ、その…
例えばО(x)と書いたときにf(x)=0も含めることは
できないかなと思ったので。

補足日時：2009/08/08 22:55

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/08/08 23:28