球面三角形の面積について

球面三角形の面積について

図のような黄色に塗られた球面三角形の面積をもとめる場合、どうすればいいのでしょうか？

ちなみに解き方は、以下のように分かっているのですが、理解できません。

2α/2π*4πr^2=4αr^2・・・(1)
2β/2π*4πr^2=4βr^2・・・(2)
2γ/2π*4πr^2=4γr^2・・・(3)

(1)＋(2)＋(3)-4πr^2/4=(α+β+γ-π)*r^2

まず、
2α/2π*4πr^2の時点で分かりません。
これで一体どこの面積が分かるのでしょうか？
角度*球体の表面積は公式でしょうか？

また、なぜ、(1)＋(2)＋(3)から4πr^2を引いているのかがわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/11 20:58

>(2α/2π)*4πr^2の時点で分かりません。

これは、添付図の球で球面上の直線が角度αで、点Nと点Sと交わって作る２つのスイカの皮の形の部分（水色の部分）の面積を表しています。

球面全体の面積は4πr^2です。

点Nの周りの１周の角が２πでその内の交差角αが２つ分で（2α）/(２π)の割合（比）で球面を切り取ります。

水色に着色した２つの面積は、球面全体の面積4πr^2に、この比(2α）/(２π)を掛けてやった式

{(2α）/(２π)}4πr^2＝4αr^2 …(1)

で求められることになります。お分かりでしょうか？

>なぜ、(1)＋(2)＋(3)から4πr^2を引いているのかがわかりません。

αについて、上の２つのスイカの皮の面積が(1)
βについて、上の２つのスイカの皮の面積が(2)
γ間について、上の２つのスイカの皮の面積が(3)

これらの６枚のスイカの皮で球面全体を覆いますが、球面三角形の所が上下の２箇所に出来て、その三角形の部分だけ３重に重複していますので、合計６個の球面三角形を重複カウントしています。
６枚のスイカの皮の面積の合計(1)+(2)+(3)から球面全体の面積4πr^2を引いてやると、上下の２つ分の球面三角形の面積を引くことになるので、残った面積

(1)+(2)+(3)-4πr^2＝4(α+β+γ-π)*r^2 …(4)

は球面三角形４個分の面積になります。
従って、(4)を4で割ってやれば、球面三角形1個の面積S

　S＝(α+β+γ-π)*r^2

となります。
お分かりになりましたでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/08/11 16:52

なんで 2α とかにしてるんだろう. α の方が素直なのに.

ということで, (1)～(3) の半分だけを考えることにします.
すると, 「黄色い部分」+「その下の部分」の面積が (1) の半分で与えられます. ちょっと地球儀を想像してほしいのですが, その地球儀全体の表面積と「角度 α で交わる 2本の経線の間にある部分の面積」の比は, ちょうど α/(2π) です (微妙な表現を許してもらえれば, この比は「ある緯度における緯線全体の長さとこの 2本の経線の間にある緯線の長さの比」に等しい).
同様に「黄色い部分」+「その右上の部分」の面積が (2) の半分, 「黄色い部分」+「その左上の部分」の面積が (3) の半分で与えられます.
さらに, 対称性から「左上の部分」と「右下の部分」は合同なので右下に持っていくと, (1)～(3) の半分の総和が「黄色い部分」の 2倍+半球になることが分かります.