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そのラプラス分布に従う確率変数をXi(i=1~n)とすると、対数尤度は
log Πf(xi) = log Π{exp(-|xi-θ|}}/2
= -Σ|xi-θ|-nlog2
= -Σ√(xi-θ)^2-nlog2
となり、これをθについて微分すると、
(d/dθ){log Πf(xi)} = Σ(xi-θ)/√(xi-θ)^2 = Σsgn(xi-θ) (xi≠θ)
ここで、sgn(xi-θ)はxi-θが正なら1、負なら-1、0なら0となる関数を意味します。
θが中央値のとき
Σsgn(xi-θ) = 0
となるので、中央値が最尤推定量であることがわかります。
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