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1、(mxn)の行列, (m×1)のベクトルをそれぞれA,bとし、行列A
のランクをrとする.このとき,連立方程式Ax=bの解はそれぞ
れ(i)一意に求まる場合 ii)無数に存在する場合 iii)存在しない
場合が考えられる.それぞれはどのような場合に生じるかを記せ。
また,上記の方程式の解が存在しないときの最小自乗解は何か.
2.Xはmxnの行列でランク(階数)はrである.このとき,Xは
X=BCと表現できることを示せ、ただしBはmxrの列正則な
行列,Cはrxnの行正則な行列である.
解答を載せましたが、これで合っていますか?
![「連立方程式、ランク」の質問画像](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/8/17273406_5497c44369b55/M.jpg)
A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
1.
落ち着いて! r = rank A と置いたのでしょう?
一意に存在する: rank A = rank A|b = m
無数に存在する: rank A = rank A|b < m
存在しない: rank A < rank A|b
ですよ。書き違いなのか、覚え違いなのか…
ここで、A|b は、
A と b の列を並べた m×(n+1) 型の行列という意味
ですから、A と b の行列積と間違えぬよう。
2.
一般逆行列など持ち出さなくても、高校レベルで…
X の像空間 Span X の基底を列として並べた
m×r 型の行列を B、
対角成分が 1 で他の成分が 0 である
r×n 型の行列を D、
X の核 Ker X の基底を右から
その補空間 R^n / Ker X の基底を左から
列として並べた n×n 型の正則行列を F
と置くと、X = BD(F^-1) が成り立つので、
C = D(F^-1) とすればよい。
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