波動関数の二乗は確率か確率密度か

Question

参考書などに「波動関数の二乗は粒子の存在確率を表す」とよく書いてありますが、波動関数の二乗は確率ではなく確率密度を表すと思うのですが、実際はどっちなのでしょうか？
波動関数の二乗の確率は、｜Φ｜＾２ｄｘだと思います。なぜなら、規格化条件（∫｜Φ｜＾２ｄｘ＝１）は確率を全領域で足し合わせるから１になるのですから、｜Φ｜＾２ｄｘが確率ということになりますよね・・・？
わかる方いたら教えてください（＞＜）

noname#168349 · Accepted Answer

yuclearさんのおっしゃるとおりで、
｜Φ｜＾２ｄｘが確率であり、
｜Φ｜＾２は確率密度です。

moumougoo · Answer

#3さんのコメントについて、ご指摘のとおり

Φ(x) = Σc_i・δ(x-x_i) が間違ってました。大変失礼しました。
δ(x-x_i)ではなくてδ(x-x_i)^{1/2}みたいなものですね。
ディラックの表記で<x|f>=f(x)とするときの|x_i>のつもりでした。
|Φ> = Σ|x_i><x_i|Φ> = Σ|x_i>c_i という表現です。

ちなみに、#3さんのおっしゃるとおり、
「参考書などの書き方がわるいのかもしれません。」という参考意見です。

感覚的には、存在確率∝|Φ(x)|^2（つまり規格化は適当にやるからいいだろう）くらいの感覚なんじゃないですかね。

noname#168349 · Answer

Φ(x)=Σc_i・δ(x-x_i)　(iで和をとる)
の場合
|Φ(x)|^2=Σ|c_i|^2・δ^2(x-x_i)　(iで和をとる)
であって、x=x_iで確率密度無限大です。
xで積分しないとデルタ関数は消えませんよ。

やはり質問者のいっていることは正しいのでは。

moumougoo · Answer

参考書などの書き方がわるいのかもしれません。
（簡単のため直交する）状態iの波動関数ψ_i(x)があるとして、
その合成した状態を係数c_iとしてΦ＝Σc_i・ψ_i(x)と表します。
このとき、状態iにある確率は|c_i|^2で与えられます。
これを混乱を招く表現で「波動関数の二乗は粒子の存在確率を表す」といっているのかもしれません。

あくまでも空間分布の話だとしても上記と同じように
場所x_iに粒子がある状態をδ関数を用いてδ(x-x_i)で表して、
Φ(x)=Σc_i・δ(x-x_i)でとして、場所x_iに確率は|c_i|^2で与えられます。
Σc_i・δ(x-x_i)＝∫ψ(x_i)δ(x-x_i)＝Φ(x)なので、|c_i|^2＝|ψ(x_i)|^2です。
場所が離散化されている必要があると思いますが、「波動関数の二乗は粒子の存在確率を表す」といってしまっているのかもしれません。
でも質問者さんのおっしゃるように、測度dxを掛けて|ψ(x_i)|^2dxというべきかもしれません。

こんな感じですがどうでしょう。

波動関数の二乗は確率か確率密度か

yuclearさんのおっしゃるとおりで、

#3さんのコメントについて、ご指摘のとおり

Φ(x)=Σc_i・δ(x-x_i) (iで和をとる)

参考書などの書き方がわるいのかもしれません。

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Φ(x)=Σc_i・δ(x-x_i)　(iで和をとる)