ノギスとマイクロメーターをつかった実験と平均値を取る意味を教えて下しい

先日、学校でノギスとマイクロメーターをつかって硬貨の体積を求める実験をしました。
その硬貨の外径をノギスで測った全クラスの結果が皆20.000mmといった数で有効数字5桁になった。
でもノギスが測れるのは0.05mmまでで、本当は20.00mmみたいな結果になるのではないでしょうか。皆はその小数点以下第３位を目分量だと思っているのではないかと思うんですが、実験プリントやほかのさまざまの資料を見たんですが、ノギスを使ってだした結果は小数点以下第2位で、目分量がないのです。外国の質問サイトで聞いてみたんですが、ノギスは目分量がつかないみたいです。それって本当ですか？
もし本当に目分量がないとすると、誤差はどうなるんですか？小数点以下第2位を信じていいんですか？
20.00mm ± 0.025mm みたいな表示を見たんですが、これでイイでしょうか。こうなるとなんか小数点以下第2位が信用できない桁にみえますが。有効数字に関する話題が全然分かりません。有効数字４桁と言ってしまうと20.00の最後の0が目分量になるんですよね、でもノギスは0.05mmまで測れるんですから、その0って正確なはずなんですよね？
また全クラスの平均を取るって言う行動は誤差を下げることができますと思うんですが、実際はなぜですか。（精度がなぜ上がるの証明みたいな感回答をしてくれれば。）（10っこのデータを取ったら誤差を10で割って ±0.0025mmになるんですか）分かりません。
あと誤差が違う二つの数値を計算するってどうやるんですか。2.5 ±0.05mm x 2.55 ±0.005mm のような
そして　2.4 ±0.05mm + 2.5±0.05mm という計算は　2.9 ±0.1mm
になるんですか、そうしたらこの二つの平均はどうなるんですか？
平均を取るって言う事の意味なんですが。googleしてみると有効数字を一桁上げる事ができるという結果になったんですが、それはいったいどういう計算、プロセスで桁数を上げる事ができるのでか？それが問題です。ある説では平均値の有効数字は計算に関係なくデータの標準偏差によるみたいです。どうでしょうか？
ご回答お願いします！

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/09/23 10:05

＞標準偏差て言うものは一組のデータにたいして初めて意味があるものになるじゃないんでしょうか？

誤差論の基礎は、測定をするという行為を、平均μ、分散σ^2で正規分布をする無限個の測定値の中から有限個の測定値を選び出す作業とみなして取り扱うことです。この無限個の測定値を母集団、μ、σ^2を母平均、母分散といい、ANo.1で書いているσ^2はこの母分散のことです。μ、σ^2の正確な値は人知では得ることはできませんが、推定はできます。測定の目的は、同一条件の繰り返し測定によりμ、σ^2の最も確からしい推定値を求めることです。

＞そのσがなぜ　元の標準偏差？の√((Σ(xi-xn)^2)/n)を用いるんですか　

つかいません。

この量の二乗Sn^2 = Σ(xi-Xn)^2/nは標本分散とよばれますが、「n個のデータを測定し標本平均Xnと標本分散Sn^2を求める」という作業を無限回繰り返してSn^2の平均を求めると母分散に一致しません。この平均が母分散に一致するのは、Σ(xi-Xn)^2/(n-1)という量で、これを母分散の不偏推定量(不偏分散)といいます。

測定値の不確かさの表記にはAno.1で書いた平均値の標準編差σ^2/nを使うことになっていますが、上述の通りσ^2を知ることはできませんので不偏分散で代用します。したがって、n回測定したときの測定値の不確かさは

Un = √[Σ(xi-Xn)^2/n(n-1)]

でもとめます。

以上かいつまんで書きましたが、これをまともにやると、多分、半期分の講義をする分量になります。不足があれば測定や誤差論に関する教科書を読んでください。書籍は多数出ています。

この回答への補足

回答ありがとうございました。実際にこれは高校のレポートであって、ここまで深く原理を探るというのもどうも十分の十分です。役に立ってありがとうございます。レポートは明日提出なんですが、自分はもうちょっと誤差論に関する書籍を読んでみたいと思っています。

補足日時：2009/09/23 12:32

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/09/22 20:44

＞有効数字の桁数が減ったんですが、これでいいんでしょうか？（ばらつきが大きいです）

測定する対象によってはそういうこともあります。
やろうとしている測定に対して計測器の性能が高すぎるとこうなります。
計測器の性能が低すぎるよりは高すぎるほうがましなので、
しばしばこういうことは発生します。

この回答への補足

ご回答本当にありがとうございます。
博学ではない人間なので、もうちょっと質問させてもよろしいでしょうか
平均値の標準偏差は元のデータの1/√n というのは理解できたんですが　そのσがなぜ　元の標準偏差？の√((Σ(xi-xn)^2)/n)を用いるんですか　それってもともとのデータ一つ一つすべてがこのσの標準偏差であるという意味ですか？理解できません。そうするとそのσ/√nというのは標準偏差と読んでいいのですか　平均　±　標準偏差　見たいに読んでいいんですか。標準偏差は√((Σ(xi-xn)^2)/n)でないんですか？
またhttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …のような回答があったんですがこれはどうなるんですか。かれはそのσを標準偏差でなく個々のデータの誤差であると見なしています。そうなると皆の誤差は同じく±0.025mmであるから平均値はσ/√nであるというのは納得できます。でもそうなるとばらつきの大きいデータを彼の方法で平均を取ると一定のデータ数を持つなら有効数字が増えるんですよね、それは納得できません。また最初の疑問になるんですがなぜ個々のデータにσという標準偏差を持つんですか？標準偏差て言うものは一組のデータにたいして初めて意味があるものになるじゃないんでしょうか？

補足日時：2009/09/23 02:24

No.2 回答者： windsnow 回答日時： 2009/09/22 08:14

随分難しく考えてるんですね。

こういうのじゃだめですか。

測定器の誤差には
・視差（見る方向で違う、人による）
・器差（測定器自体が持ってる狂い）
・温度差（室温、人間の体温の伝導による、標準は２０℃）
・偶然誤差（予測不可能、防止出来ない不明な原因による）

．．．があり、この内で上３つに関しては訓練・教育、測定器の
校正、室温管理で除いていけますが、最後の一つはどうやって
も生じてしまうので、一度測っただけではその誤差を含んだ分
かもしれないので何回か測る、測定箇所を変えるということで
対処します。硬貨の直径なら、一度測った箇所で見えてないゴミ
を噛んでいてそれごと測ったかもしれないし、測定で硬貨に凹み
をつけてしまい、そこを測ったかもしれません。でも、何度か、方向
を変えて計れば真の値に近ずくことは出来ます。何人か複数で、
かつ複数の測定器で測るのは個人個人の癖である視差、測定器
の持ってる器差を消すのに役立つでしょう。（ただし全員が一定以上
の精度＝偏りやバラつきの少ない測定　が出来ないと意味がない
のですが。）

ノギスはバーニヤの合致点が最小読み取り値であり、目分量は
しないというか出来ないと思います。（逆に、何処をどう見れば可能
なのですか？　マイクロメーターに関しては目分量で目盛りの１／１０
を読む場合もあると思いますが。）
また、信じていいか、という話はまた別なのです。その要求測定精度
が高ければ最小読み取り値の小さい測定器を使うまでです。
例えばノギスで測っておいて適合サイズのマイクロメーターやダイアル
ゲージを使う、といった様な。

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/09/21 15:49

＞googleしてみると有効数字を一桁上げる事ができるという結果になったんですが、

＞それはいったいどういう計算、プロセスで桁数を上げる事ができるのでか？

少し長いですが、辛抱して読んでください。

二つの確率変数x1, x2があってそれぞれが標準偏差σ1, σ2を持つとします。
標準偏差の二乗を分散といいます。(定義は逆で分散の正の平方根が標準偏差。)

1。x1+x2の分散

さて、x1+x2という量を考えると、この量はσ1^2+σ2^2という分散を持つという結果が確率論から導かれます。

たとえば、このx1,x2はサイコロのを２回振ったときのサイコロの目だと思えばいいでしょう。
サイコロを２回振ったときの目の合計がどういう分布をするか、という話です。

同じサイコロを二つ振った場合は標準偏差が同じですから、サイコロ1つを振ったときの分散をσ＾2とすると、二つのサイコロの目の合計の分散は2σ^2と言うことになります。

2。cxの分散

もう一つ、ある確率変数xのc倍(cは定数)を考えます。
このときに確率論が教えてくれるのは分散がc^2倍になるということです。

したがって、xの分散をσ^2とすると、cxの分散はc^2σ^2です。
ここでc=1/nとすると、x/nの分散はσ^2/n^2となります。

3. 平均(x1+x2)/2の分散

X=x1+x2とすると、二つのサイコロの場合、Xの分散が2σ^2であることを上で述べました。
すると、2.で述べたことにより、平均値<x>=X/2=(x1+x2)/2の分散はXの分散の(1/2)^2倍ということになり、

平均値の分散=2σ^2/2^2 = σ^2/2
平均値の標準偏差=√[平均値の分散]=σ/√2

一般にX=x1+x2+・・・+xnとすると上の2がnになって

平均値の分散=nσ^2/n^2 = σ^2/n
平均値の標準偏差=√[平均値の分散]=σ/√n

したがって、標準偏差は値のばらつきの程度を表すので、
平均値の値のばらつきは元のデータの1/√nになり、
n=10程度にになると標準偏差の値が一桁小さくなることがしばしばあります。


＞全クラスの結果が皆20.000mmといった数で有効数字5桁になった。

これは平均値の話でしょうね。
測定結果は平均値と平均の標準偏差で表すのが国際的なルールです。

＞ノギスは目分量がつかないみたいです。それって本当ですか？

バーニヤ(副尺)で読みますから、目分量はないですね。
実験のときにノギス、マイクロメータを使わなかったのでしょうか？
実物を手に持って自分の手で測定をしていれば聞くまでもないはずですが。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。
もう一つ聞きたいんですか、もしマイクロメーターで42個のデータを出したとします。教わった方法でその平均は1.45 ±0.02mm になるんですが、有効数字の桁数が減ったんですが、これでいいんでしょうか？（ばらつきが大きいです）

補足日時：2009/09/22 19:34