線形代数 Im像の基底の求め方

数学の参考書でImの次元がもとまったら、Imの基底はその線形写像を表現行列からもとまり
　　（４３４）
　　（１２７）
　　（５１３）
なら（４）
　　（１）
　　（５）
や　（３）
　　（２）
　　（１）
や　（４）
　　（７）
　　（３）
の中から一次独立なものの組（３つのうちどれだけ選ぶは次元によるらしい）を基底としています。
この理由がよくわかりません。

No.2 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/09/29 11:10

とりあえず３次で考えます。

行列Aの列ベクトルをu,v,wとおきます。
このうち、全て一次独立であればこれらの線形結合で像が決まります。
ここまでは大丈夫ですか？（Imageの定義を見直してみてください）
つまり、ImageA=span{u,v,w}
となります。
ここで、a,b,cのうちに従属関係があれば(たとえばw=2u+3vという関係があったとしましょう）、
a*u+b*v+c*wが張る空間と
a'*u+b'*vが張る空間は等しくなります。
(a*u+b*v+c*w=a*u+b*v+c*(2u+3v)=(a+2)*u+(b+3)*v=a'*u+b'*vになることからわかるかと思います)

つまり、結局、一次独立なもの以外は新しい空間を張らないので、一次独立なものだけを考えればよくなります。
（span{a,b,c}=span{a,b}のようになる）

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/09/29 10:51

ほかの方法で基底を求めてもいいけど, 「そのようにすれば簡単に求まる」というだけ.