円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか。

円周と面積を関係づけた(同じ比例定数πがあらわれることを示した)アルキメデスの「円の計測」を読んでいて、円に外接する多角形の周は円周より大きいことが当然のこととして使わていることが理解できませんでした。
円に内接する多角形の周は円周より小さいのは明らかとして、外接多角形の周が円周より大きいことは自明なのでしょうか。

おわかりの方教えてください。

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A 回答 (12件中1~10件)

 このご質問、まだ開いていたんですね。

ずっと気になってました。stringさんはもうお忘れなのかも知れませんが…

 曲線の長さは、「曲線に内接する折れ線の長さの上限」と定義されます。
 ならば、円周上Cに点列p={p1,p2,.....,pN}を取って、これら全部を頂点とするN角形のうち、辺の長さが一番短い物をP(p)とする。(P(p)がpを頂点とする凸多角形に他ならないのは、自明でしょう。)その辺の長さをL(P(p))とすると、sup L(P(p))が円周の長さである。

 これを使った、全く別のアプローチのストーリーを考えましたが、やってません。やってませんが、ご参考になれば…

 円周上に点列q={q1,q2,....,qM}を取って、これらの点で円Cに接する凸多角形をQ(q)としましょう。そして、
∀q(q⊂C⇒sup L(P(p))≦L(Q(q)))
を示せ、という問題だと考えてみます。

∀q(q⊂C⇒∃ε(ε>0 ∧ ∀p(p⊂C⇒L(P(p))+ε≦L(Q(q)))))
が言えれば良い。この命題を否定した
[1] ∃q(q⊂C ∧ ∀ε(ε>0⇒ ∃p(p⊂C ∧ L(P(p))+ε>L(Q(q)))))
を仮定して、矛盾を導くのでも良い訳です。

 じゃ、そう仮定しましょう。すると、
[2]∃q(q⊂C ∧ ∃p(p⊂C ∧ L(P(p))>L(Q(q)))
が言えるでしょう。これで多角形同士の比較になった訳です。
r=p∪q
としますと、r⊂Cであり、また
L(P(r))≧L(P(p))
は(2点を結ぶ曲線のうち最短なのは線分だ、ということを認めれば)簡単に証明できる。

 さて、qのうち、「隣り合う2点」qa,qbに注目します。内接多角形P(r)はqaとqbの間に沢山辺があるに違いない。その個数をnとします。そこで、P(r)のうち、qaとqbを結ぶ折れ線の部分を、「全て同じ長さのm個の辺(m≧n)」で置き換えたものをP(s)としますと、円の性質を使って
L(P(s))≧L(P(r))
が証明できそうだと思います。これが言えたとしましょう。

 次に、qaからqbまでをQ(q)に沿って測る道のりと、P(s)に沿って測る道のりとでは後者の方が短い、ということが、証明できるような気がします。もし証明できたら、[2]が否定されますから、矛盾。

 いや、どこかスッポヌケているのかも知れませんが…
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

その後、私自身の理解も深まりました。

結局、

>曲線の長さは、「曲線に内接する折れ線の長さの上限」と定義されます

ということで尽きていると思います。
アルキメデスは円周を正多角形の周の長さ(の極限)
で定義しているわけですね。
そうすると外接多角形の方が周の長さが長いのは
当たり前ですね。

どうも長い間おつきあいいただきありがとうございました。

お礼日時:2004/02/18 00:19

まだ手を抜きすぎのようですんで、もうちょっとだけ頑張ってみましょう。


(本気で読んで理解しようとしない方が良いですよ。あらすじだけ追って下されば幸いです。)

●Rを実数の集合とする。連続関数f:R→Rが、∀x∈R,∀y∈R;f(x+y)=f(x)f(y)であるならば、∀x∈R; f(x)=0 もしは ∃a>0; ∀x∈R; f(x)=a^xです。特にlim{x→0}(f(x)-f(0)/x = 1である場合、a=eになります。これを複素数に拡張します。

●Cを複素数の集合とする。連続関数f:R→Cが、∀x∈R,∀y∈R;f(x+y)=f(x)f(y)、lim{x→0}(f(x)-f(0)/x = 1であるならば、∀x∈C; |f(x)|=0 もしは ∃a(a∈R∧a>0∧∀x∈C; |f(x)|=a^xです。ここで
g(x) = a^(-x)f(x)
という関数gを導入すると、連続関数g:R→Cは∀x∈R,∀y∈R;g(x+y)=g(x)g(y)、∀x∈R;|g(x)|=1である。そこでg(x)の実部をc(x), 虚部をs(x)と書くことにします。つまりg(x)=c(x)+i s(x)。するとc,s:R→Rは連続関数であり、
g(x)g(y) = (c(x)c(y)-s(x)s(y))+i(s(x)c(y)+c(x)s(y))
を満たす。故に、
|g(x)|^2 = (c(x))^2+(s(x))^2=1
であり、さらに加法定理
∀x∈R,∀y∈R;c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)
∀x∈R,∀y∈R;s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)
を満たさなくちゃならない。これらを満たすc(x),s(x)を求めよ、という問題です。

●そこでまず、実数の無限列{c[n]}, {s[n]} (n∈N, Nは0を含む自然数)を以下のように定義します。
c[0]=0,s[0]=1
∀n∈N; c[n+1]=√[(1+c[n])/2]
∀n∈N; s[n+1]=√[(1-c[n])/2]
とすると、(c[n]^2+s[n]^2=1ですね。)
このとき、{(2^n)s[n]}はn→∞で収束します。この収束値をαとしましょう。

●次に、∀β∈R, β>0について、
・加法定理を満たし、しかもc((2^[-n])β)=c[n]、s((2^[-n])β)=s[n]であるような連続関数s,c:R→Rが一意的に存在することが(なかなか手間が掛かるけど)証明できます。(従ってc(β)=0, s(β)=1です。)しかもそのs,cは
 ∀m∈Z (整数)、∀n∈Nに対して、x=m(2^[-n])βとおくと(c[n]+i s[n])^m=c(x)+i s(x)
を満たすことが示せます。
すると区間[0,β]に於いてcは単調減少、sは単調増加であって、n→∞のとき、s((2^[-n])β)/((2^[-n])β)→α/βとなります。これをもとにして、
x∈Rに対して lim{x→0}s(x)/x=α/β
が証明できます。そこでβをβ=αに固定してしまいます。(あとまだこちゃこちゃしたことをやらなくちゃいけませんが、)かくて

●cos = c、sin = s、π=2αと定義すると、
(cos(x))^2+(sin(x))^2=1
∀x∈R,∀y∈R;cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
∀x∈R,∀y∈R;sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
x∈Rについてlim{x→0} sin(x)/x = 1
∀x∈R; e(ix) = cos(x)+i sin(x)
その他、sin,cosの性質一式やπの値の計算方法などが導き出されます。
以上、冪級数は使ってないし、だから加法定理もすんなり出てきたわけです。

●関数p:R→R×R、∀θ∈R; P(θ)=<cosθ, sinθ>を考えると、
∀θ; |p(θ)|^2=(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
です。ここでθを「角度」と呼ぶことにする。pを「単位円」と呼ぶ。そして円弧を実数の区間[η,ξ]のpによる像として定義します。
さらにsin,cosの微分。結果だけ言えば、ご承知の通り
d(sinθ)/dθ=cosθ、d(cosθ)/dθ=-sinθ
です。これで円の話はだいたいできた。

●次に解析幾何学に於けるユークリッド距離の概念を構成しなくちゃいけない。
一般に曲線は連続関数u,v:R→Rによって、連続関数l:R→R×R, l(t)=<u(t),v(t)>を定義し、その長さを
integral{t=x~y}|l(t)|dt
と定義します。従って円弧の長さは
integral{θ=η~ξ} |p(θ)| dθ
と定義することになり、線分はu,vがtの一次式である場合に相当するわけです。

●このようにして、図形のイメージを全然使わないで解析幾何学を構成していくと、ようやく等周問題を論じられるようになる。いやはや大変ですね。
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この回答へのお礼

stomachmanさん、ご回答どうもありがとうございました。
教えてgoo事務局から、新しい回答をいただいたお知らせのメールが
どういうわけか届いていなかったので、stomachmanさんのご回答に
気づいていませんでした。
お礼を申し上げるのが遅くなり申し訳ございません。

私が勘違いしていたようです。冪級数でなくて、
指数関数の実部と虚部とで定義したのですね。

やはり、

lim{x→0} sin(x)/x = 1

は手でいれるしかないのですね。
これはユークリッド幾何の範囲内で証明のしようがないもの
なのでしょうね。それがなぜかはうまく言えませんが。

その後の議論も大変勉強させられました。

どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/03/30 01:23

 余りにすっ飛ばしすぎて、いささか誤解を招いたようです。



●ROMの読者のために、まず何の話をしているか整理しておきます。
 ひとつたとえ話をいたします。1辺の長さが1の正三角形を持ってくる。その底辺上に、辺の長さが1/2である小さい正三角形の底辺を二つまっすぐにならべてやる。それぞれの小さい正三角形の底辺上に辺の長さが1/4である小さい正三角形の底辺を二つまっすぐにならべてやる。この操作を繰り返していくと、元の正三角形の底辺の上に一辺(2^(-n))の正三角形が(2^n)個並ぶ。で、この小さい正三角形の底辺を全部消しゴムで消してしまうとギザギザの線ができますよね。このギザギザ線の長さは幾らか?もちろん、元の大きい正三角形の1辺の長さの丁度2倍である。しかしギザギザ線は元の大きい正三角形の底辺に非常に近い。どこを見ても高々(2^(n-1))()√3/2)以内の距離にある。nをどんどん大きくしたら、もうギザギザ線は大きい正三角形の底辺に収束してしまう訳ですが、依然としてその長さは底辺の2倍である。
 こういう訳で、幾らでも近づくということと、長さが同じ、ということは等価ではない。だから円周の場合にも安易に多角形で近似してやるのは怪しい訳です。

●閑話休題(って、これがまるごと閑話じゃないかぁ~)
 図形を直感的に実在するものと考えたのではsine, cosineを(説明はできますけど)定義することはできません。解析幾何をやるためには、関数をもとにして図形を定義しなくちゃいけないってことですね。
 sine,cosineを冪級数で定義しても悪くはないですが(天下り的であるという点を度外視しても)、加法定理が簡単に出てくるわけじゃなく、これが出てきてくれないと以下の議論が繋がらない。
 ここでやってるsine,cosineの定義に冪級数展開は使っていません。あくまでも「加法定理を満たすような実数値連続関数」という性質だけを使って絞り込んでいくという、実に根気のいる証明(多分本が書けますが全然売れない)なんです。この途中の成果として、sin(π/2)=1, cos(π/2)=0となる値としてπが定義され、sine, cosineが周期2πを持つことが示される。πの具体的な値を与える級数展開も作れます。
 sine,cosineができてしまうと、x=cosθ, y=sinθと書いた場合にC={(x,y)|x^2+y^2=1}という集合が定義でき、この集合上の点は媒介変数θで指定される。θをθ+c (cは任意の実数)で置き換えたって、Cに変化がないことは加法定理が保証してくれます。つまりくるくる回しても変化しない。
 さあここで開き直りますから、パンツのゴムの緩い方は手でしっかり押さえて置いてください。

「この集合Cを円周と言うんです!」

 このようにして円を定義してやれば、円周の長さが2πであることは自明に導くことができ、また外接多角形の辺の長さが2πより大きいことも自明になる(筈です。)
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本当に鋭い質問で、舌を巻いています。



<Nakaさん。
果たして扇形の面積がこれで良いのかどうか、が議論になっているんです。扇形の面積=lr/2というのは、lが円弧の長さである以上、自明ではありません。(たとえば、もし円が細かく見たら歯車だった、というんだと、これは成り立たないでしょう?)

 つまり円周の長さとしてどんな測度を入れるか、要するに曲線の長さって何?という位相が本質的に重要になります。

 stomachmanはまず「円を、Oを中心として任意の(実数値)角度だけ回転しても、もとの円と(測度も含め)合同である」ということを前提して「ゆえに中心角が∠POQ度である円弧の長さlは円周の(∠POQ/360)倍である」に持っていく論法を検討したんですが、結局は、曲線の長さの測度は微分法:「局所の直線近似」を基本にして定義されているのがそもそもアヤシイ(これを認めたらアルキメデスの議論も当然妥当)という議論に陥りました。等周問題もこの測度の上に成り立っているので堂々巡りです。
 円弧が微分可能な連続関数でなきゃならん。どうしてかというと、まあコーシーでも一杯飲みながら、というながながとした議論をやらないと到底結論に行き着けない。
 さて、三角関数を微積分も幾何学も使わないで定義する方法として、加法定理 f(x+y)=f(x)f(y)という関数方程式の解としてf(z) = a^zを求め、zを複素数に拡張して実部と虚部を分離することによってsin x, cos xおよびその性質全部を引きずり出す手があります。つまり
f: C→C(連続関数)
∀z,w∈C;f(z+w)=f(z)f(w)かつz→0のときf(z)-f(0)=z
から、
f(z) = f(x+yi)=(cos(y)+i sin(y))exp(x)
の存在が証明できます。もうすこし詳しく見ると、{c[n]},{s[n]}を実数列として、
c[0]^2+s[0]^2=1
c[n+1]=√((1+c[n])/2),s[n+1]=√((1-c[n])/2)
とするときに、加法定理
c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y), s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)
を満たすc,s: R→R
n∈Nに対してc(β/(2^n))=c[n], s(β/(2^n))=s[n]
が一意的に存在することが証明されます。z→0のときf(z)-f(0)=zを要請してここでβを固定し、かつc[0]=0, s[0]=1と決めてやる。それでやっと
π=2β
によってπが定義されます。(途中を思い切りすっ飛ばしているので、これだけじゃ全然わからんと思いますが)。
 これでようやく、解析幾何学で円をsine,cosineで表現する(半径一定の曲線として)ことができるようになったわけですが、じゃあ円周の長さがこれと何の関係があるの?
 というわけで、ようやく円周の微分が可能であることが証明できる。微積分にお出まし願うのはこの後ということになります。

 うわあ。数学基礎論のちょっとした難題ではありますまいか。
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この回答へのお礼

stomachmanさん、ご回答どうもありがとうございます。

stomachmanさんの議論では、サインはべき級数展開で定義されている
わけですよね。幾何学的な議論では無理ということなのでしょうか。

昔読んだ杉浦光夫氏の解析入門にはサインを解析的に扱うためには
(図形的な定義でなく)べき級数で定義しなければならないとありましたが、
私は何か納得がいかなったことを憶えています。
べき級数展開で定義したとなると図形との対応をつけるのが簡単ではないような
気がするからです。

お礼日時:2001/03/21 00:44

◆Naka◆


素人考えで恐縮ですが、こんなのはどうでしょう??
円に外接する1辺の長さがaである正多角形の、ある頂点をPとします。
その両側にある円との接点を、それぞれQ、Rとします。
そして弧QRの長さをl(←「エル」です)、円の中心をO、半径をrとします。

四角形OQPRの面積>扇形O-QR は明らかですよね?
ここで∠OQP=∠Rですから、四角形OQPRの面積は、
r×(a/2)×(1/2)×2=ra/2
また、扇形の面積は、
lr/2

よって、
ra/2>lr/2
r>0より
a>l

思いつきで書いたものなんで、間違い等ございましたら、ご指摘ください。
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この回答へのお礼

Nakaさん、ご回答ありがとうございます。
stomachmanさんがおっしゃっている通りです。
では、扇形の面積はどうしてそれでいいのでしょうか、
という部分を考えているのです。

お礼日時:2001/03/20 05:18

siegmund です.



内接多角形の周は円周より小さいのは明らかですね.
2点間を直線で結んでいる内接多角形に対して,円周の方は曲線ですから.
まあ,うるさいことを言えば,2点間を結ぶ曲線の内で長さが最小のものが
線分であることも変分法的証明を必要としますが....

外接多角形の方は意外に難しいようです.
円周は内接多角形と外接多角形の間を通っていて,
角数を増やしてゆけば内外接多角形の間の面積はつぶれますが,
それが直接円周の長さと結びつかないところに難点があります.
stomachman さんの言われるように,
円の内接多角形と外接多角形の角数をどんどん増やしていけば,どっちも2πrに収束します.
(1) 間の面積がつぶれること
(2) 円周はそのつぶれるところを通っていること,
(3) 外側の長さも内側の長さも共に共通の値 2πr に収束する.
から円周も 2πr に収束することは納得できますが,
さて,これでいいんでしょうかね?
円周はフラクタル曲線みたいに無限に小さい(ただし無視できない)ギザギザなどが
あるわけではないので,直感的にはOKですが...

後世の視点からするなら,正n角形の中心角の半分をθ=π/n として
内接多角形の一辺は 2r sinθ,外接多角形の一辺は 2r tanθ,
円弧は 2rθ ですから,sinθ<θ<tanθ から大小関係はわかります.
でもこれは反則ですよね.

アルキメデスの円周率の計算は stomachman さんの書かれているとおりです.
彼は内接と外接の正96角形の周を計算し,
3.14 まで正しく求めたということのようです.
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この回答へのお礼

siegmundさん、またご回答をいただきありがとうございます。

そうなんです。外接多角形は意外と難しいと思います。

>円周も 2πr に収束することは納得できますが

の部分で私は少し考えがまとまっておりません。

>後世の視点からするなら,正n角形の中心角の半分をθ=π/n として
>内接多角形の一辺は 2r sinθ,外接多角形の一辺は 2r tanθ,
>円弧は 2rθ ですから,sinθ<θ<tanθ から大小関係はわかります.
>でもこれは反則ですよね.

この不等式はどうやって出すのでしょうか。
もし、

内接三角形 < 扇形 < 外接三角形

の面積関係からだすのであれば、既に扇形の面積、つまり、円の面積を認めた
上での話になると思います。

高校ではこの不等式からサインの微分を導くので、円の面積を議論するときにはサインの微分は使いたくはないのです。

>まあ,うるさいことを言えば,2点間を結ぶ曲線の内で長さが最小のものが
>線分であることも変分法的証明を必要としますが....

変分法的証明は、2点間の最短距離が線分という前提(ピタゴラスの定理)の上ですると思うので、やはり2点間の最短距離が線分というのは仮定なのではないのでしょうか。

お礼日時:2001/03/20 05:12

stomachmanさん


解説ありがとうございます。
私は、やはり自明とはいえないと理解しました(等周問題の証明が必要なのだから)。
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アルキメデスはこう考えたんじゃないかな、と思うところを述べますと、


(1) うんと角数が多い多角形を考える。つまりもとの外接多角形の円との接点の間にさらに接点を持つ多角形を考える。こうすると元の外接多角形よりは円に近い図形になりますよね。そして周の長さは元のより短くなる。言い換えれば、円の内接多角形と外接多角形の角数をどんどん増やしていけば、どっちも2πrに収束する。
この手で円周の長さ(つまりπ)を計算したのじゃないかと思います。
でもこの論法でも曲線の長さを厳密に証明することはできません。(連続関数と微分法以前の段階でうまい証明法があったんでしょうかねえ?)

この回答への補足

アルキメデスは「円の計測」の命題3で(命題1で円周と面積の関係を示した)stomachmanさんがおっしゃるように、

内接する正96角形の周の長さと外接する正96角形の周の長さを
(平方根がでてきたら近似して)求めて、円周率が

3 10/71 < 円周率 < 3 1/7

であることを示しました。

補足日時:2001/03/20 04:27
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>stomachmanさん


私が質問しちゃ変ですがアルキメデスはどうやって考えたのですか?
やはり変分法に帰着されるのでしょうか?

#2で長い証明といったのは表面積の話でした。撤回します。

この回答への補足

今日アルキメデスの別の著作で、球の表面積と体積を求めた「球と円柱について」を読んでいたところ、この著作では、アルキメデスはなんと外接多角形の周が円周より大きいことははじめに仮定していました。

「円の計測」の現代に残っている写本はオリジナルの省略版と言われているので、現代に伝えられている「円の計測」では外接多角形の周が円周より大きいことは当たり前のように主張されていますが、アルキメデスのオリジナルではもう少し慎重に書かれていたかもしれません。
(あくまでも私の推測ですが)

結論としてアルキメデス自身は外接多角形の周が円周より大きいことは、直観的に明らかだが、証明はしなかったというか、証明にこだわらなかった(とりあえず仮定としておいて先に進んでもっと意味あることをしよう)というところではないのでしょうか。

補足日時:2001/03/20 03:57
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 周の長さを一定にしたとき、最大の面積を囲む閉曲線が円です。

その証明は変分法の問題です。(参考URL↓)

 これを一旦認めますと、
 円に外接多角形は、その円より広い面積を囲んでいますから、円より周長が長くなくちゃいけないことが分かります。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
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この回答へのお礼

どうもお答えいただきありがとうございます。
変分法で答えを出すときに、サインの微分を使わなければ満足できます。
等周問題は自分で解いたことがないので、ちょっと試してみます。

お礼日時:2001/03/20 03:56

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Q「円ドル双方向換算」マクロを作成しているのですが・・・(長文です)

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額を算出して返す
' 引数:円元金(Integer型)
' 返数:ドル換算
Dim 換算レート As Double
Dim 円換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 1 / 109.5

' ドル元金から円換算額を算出する
円換算額 = ドル元金 / 換算レート

' 円換算額を呼び出し元に戻す
ドル円換算 = 円換算額
End Function
Sub 円ドル双方向換算()
Dim ユーザー選択 As Integer
Dim 元金 As Integer
Dim 換算額 As Integer

' 円元金を取得する
円元金 = Range("B3").Value

' ドル元金を取得する
ドル元金 = Range("B3").Value

' 換算する通貨を判定し、それぞれについて換算を行う
If Range("B2") = 1 Then '円ドル換算を行う場合
換算額 = 円ドル換算(ドル元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(円ドル換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = 円ドル換算 '円ドル換算値を出力する
ElseIf Range("B2") = 2 Then 'ドル円換算を行う場合
換算額 = ドル円換算(円元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(ドル円換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = ドル円換算 'ドル円換算値を出力する
End If
End Sub

B2のセルにくる数字が1のときは円→ドルに、2のときはドル→円に換算するマクロを作りたいのですが・・・
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かなり初心者なので、模範解答を示してもらえると助かります^^;
よろしくお願いします><

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額...続きを読む

Aベストアンサー

もう少し親切にするなら、
B2に「入力規則」-「リスト」で「元の値」に「円→ドル,ドル→円」として
ユーザー定義関数側を
Function 通貨換算(元金 As Integer,モード As String)
と変更し、更にIf部分を
If モード = "円→ドル" Then
通貨換算 = Round(元金/レート,1)
Else
通貨換算 = Round(元金*レート,1)
End If
と変更すれば、「1はどっちへの換算だっけ?」と迷わず済みます。

なお、#1で回答した中の、
' 返数:換算結果(Integer型)
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円に内接する正(n+1)角形の面積は、正n角形の面積よりも大きい

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正n角形の各頂点と円の中心を結んで、n個の三角形を作る。
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> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

で、そのとき、1ドルは何香港ドルだったのか。「1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円、1ドルが(121.5÷15.6)より多い香港ドル」だったとするなら、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えると得をする。
 こういう状況を「裁定機会」と言う。もし裁定機会が生じたら、1/1000秒にも満たないうちに誰か(のコンピュータ)がこの取引をやってしまうんで、すぐに換算レートが修正されて、裁定機会は消滅しちゃいます。すなわち、1ドルが(121.5)÷(15.6)香港ドル、というレートに修正されてしまうと、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えても、また円を香港ドルに替えてそれをドルに替えてそれを円に替えても、元のままです。
 円・ドル・香港ドルに限らず、商品(石油とか)や債券との間でも裁定機会は滅多に生じず、生じても即座に消滅する。(てか、古典的経済学では「裁定機会は存在しない」というのが定説だった。でも最近になって実際にデータを詳細に調べたら(まれに瞬間的に)裁定機会が生じていることが発見された、という話なんです。)

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

の時点でドルを買った人Aと、香港ドルを買った人Bとがいたとする。その後、第二の時点で

> 1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

となった。つまり、ドルも香港ドルも高くなった。この時点で、Aが手持ちのドルを円に替え、Bは手持ちの香港ドルを円に替えたとすると、A,Bどちらも、買うのに使った円よりも多くの円を手に入れる。
 これは単に、Aは円とドルの間の為替差益、Bは円と香港ドルの間の為替差益によって、この場合はたまたま儲けたというだけのことです。
 第二の時点でまだ売らずにおけば、後でもっと為替差益が大きくなってさらに儲けられるチャンスが来た(だから第二の時点で売らなきゃ良かった)かもしれないし、あるいは、売らずにおいたらその後「売ったら損になる」状況が続いて資金が塩漬けになっちゃう(だから第二の時点で売っといてよかった)かもしれない。
 要するに、売りたいときに売りたいものを持ってないと意味がない訳で、そのためにはあらかじめ「将来売りたくなるもの」を予想して買っておかなくてはならん。博打の一種にすぎません。

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

で、そのとき、1ドルは何香港ドルだったのか。「1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円、1ドルが(121.5÷15.6)より多い香港ドル」だったとするなら、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えると得をする。
 こういう状況を「裁定機会」と言う。もし裁定機会が生じたら、1/1000秒にも満たないうちに誰か(のコンピュータ)がこの取引をやってしまうんで、すぐに換算レートが修正されて、裁定機会は消滅しちゃいます。すなわち、1ドルが(121.5)÷(15.6)香...続きを読む

Q円の周長を測りたいんです。単純には外径×円周率で算出されると思うのです

円の周長を測りたいんです。単純には外径×円周率で算出されると思うのですが、他に計算する方法はありますか?外径2000のパイプの周長を計らなければならないのですが、いい方法が見つかりません。

Aベストアンサー

高所作業になるのを避けて、遠隔で測りたいのであれば、
直接に周長を測るよりも、直径を計って、質問文中の式で
計算するほうが良さそうです。離れた場所から直径を計る
のには、測量の器具・技術が使えるかも知れません。

Q円とドルの往復の際、平均レートで処理するとなぜ損になるのか

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。(そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、)
例 20,000を円からドルへ レート:1ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ドルを使用
残りの50ドルを円へ レート:1ドル100円として円は5,000円
(マーケットレートがあまり変わらない場合、円に戻す方がレートが悪いのでこういう想定にしました)
レートの200円と100円との平均は150円
海外で使用した50ドルを1ドル150円で換算すると7,500円
しかし、実際は20,000円持って行って返ってきたのが5,000円だから使用したのは15,000円で、7,500円しかもらえなかったら7,500円損する。
この差が出るのは
1. そもそも使った50ドルは200円で買ったドルなのだから、価値は10,000円。7,500円としか評価されなければ2,500円の損
2.返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので1ドル当たり50円損していて合計2,500円の損

でもこの2つの損を合計しても、5,000円の損であって、実際損した7,500円にならないのは何でなんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。(そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、)
例 20,000を円からドルへ レート:1ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ド...続きを読む

Aベストアンサー

>2.返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので1ドル当たり50円損していて合計2,500円の損
これがおかしいのでは.
返ってきたドルは,1ドル200円で買ったものなのに,1ドル100円になったしまったら,1ドルあたり100円損なんで,合計5000円の損ですね.2.は会社は無関係なんで,150円という数字は関係ないです.

Q円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する多角形の面積の公式
円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、(それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式)
円に内接する多角形の面積を求める公式はあるのでしょうか。

あるとすれば、その公式の名前、あるいはその公式が載っているURLを教えてください。
ないとすれば、なぜないのか(つくることの不可能性)を知っていれば教えてください。
取り合えず、あるかないかだけでも教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5角形以上でも各辺の長さが既知なら、外接円は決まると思いますよ。

外接円の半径が決まれば当然面積が決まります。

多角形の各辺の長さをa1,a2,・・・,an、
外接円の半径をr、
各辺に対応する中心角をθ1,θ2,・・・,θnとすると、
θ1+θ2+・・・+θn=2π
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r (k=1,2,・・・,n)
面積Sは、
S=Σ[k=1~n]ak*r*cos(θk/2)/2
=Σ[k=1~n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2

問題は、rが求められるかどうかですが、
sin(θ1/2+θ2/2+・・・+θn/2)=0
を加法定理で分解し、
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r
を代入して、rに関する方程式にして解けばいいはずです。
でも5角形以上で解けるかどうかは難しいでしょうね。
数値解析で求めるなら可能ですが。

Qドルと円の計算式 スイマセン、基本的な質問です。

ドルと円の関係を考えていたら頭がこんがらがってしまって・・・
計算式を教えてください。

例)
1ドル=95円で100万円ぶんドルを購入しました。
1ドル=100円の時、そのすべてを円に変えました。

いくら得したか分かる式を教えてください。
※銀行等の手数料等は一切加味せず、出ている数字のみで計算、
小数点以下切捨てでという前提でお願いします。

95円で100万円買うと10526ドル?
100円で100万買うと10000ドル??
差額の526ドルが儲けなんでしょうが、そのレートは100円で計算???
それとも買ったときの95円????

もう頭の中が?でいっぱいです(笑)
簡単に分かる方法ないですか?
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

95円のレートで100万円分のドルを買うと10526ドル。
10526ドルを100円のレートで円に換えると、10526×100で1,052,600円です。ですから5万2千600円の得です。まあ、526ドルの得と考えても良いですけど。結局526ドルを100円のレートで交換すれば52600円ですから同じです。

Q円に内接する多角形の性質

円に内接する多角形の性質

円に内接する三角形、四角形の性質は知られていますが、
一般化して、円に内接する多角形(n角形)の性質はあるんでしょうか?

あるなら、どのような性質か教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 凸多角形になります。

 また、偶数多角形(2n角形)の場合、隣り合わない内角の和は 180(n-1) 度になります。
 (つまり、その多角形の内角の和の半分になります。)

Q1ドル118円の時、円からドルに換金したドルと、1ユーロ151円の時、

1ドル118円の時、円からドルに換金したドルと、1ユーロ151円の時、円からユーロに換金したユーロをいくらかずつ所有しています。1ドル80円、1ユーロ114円となった今、これらの外貨を最小限の損失で運用するにはどうしたらいいでしょうか?

Aベストアンサー

先日TVで見たのですが、ドル円の予想で110~120円になるには10年くらいかかるという専門家が6人中3人でした。
ドルやユーロが通用するところへ旅行に行ったとき使ってくるくらいです。

Qアルキメデスが円周率を計算したやり方は?

Blue Backs「パソコンで挑む円周率」で教えられたのですが、世界で最初に円周率を計算により求めたのはアルキメデスとのことです。彼は円に内接・外接する正96角形の周の長さから円周率の近似値を計算し、3.14までは正確に求めたとのことです。

大変ためになる情報ですが、残念ながら私には正96角形の周の長さを求めるやり方が分かりません。アルキメデスは三角関数を知っていたのですか?
三角関数を知っているとしても、それを計算できたのでしょうか。

たぶん簡単なやり方があるのでしょうが、どなたか親切な方、教えてください。

Aベストアンサー

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、三角形AOMと三角形CAMでそれぞれ
ピタゴラスの定理を使います。

三角形AOMにおいて、
AM=1/2AB=1/2←この時点で、もうxは求まっています。
あとは、MC=yとおいたので、
OA^2=AM^2+OM^2
1=(1/2)^2+(1-y)^2
これを解けば、yが求まります。

次に、三角形CAMにおいて、同様にピタゴラスの定理より
CA^2=AM^2+CM^2
a^2=(1/2)^2+y^2
ここに、先程求めたyの値を代入してやれば、aの値も求まります。

これによって、12a=内接正12角形の周囲
と求められます。

これをさらに2等分、2等分・・としていくと
同様に正多角形の周囲が求められていくと思います。

ちょっとやってみます。
先程の12角形の12分の1の三角形は、三角形OACでした
便宜上、AC=aのままとします。
角AOCの二等分線は、線分ACと直交し、二等分するので
線分ACの中点をNとします。
ONの延長線と円の交点をDとします。
今度は、AD=bとおいて、bの値を求めれば
これは正24角形なので、24b=正24角形の周囲、となりますね。

OA=OC=1
AC=aより、AN=a/2
ND=xとおくと、
三角形AONにおいて、
1^2=(a/2)^2+(1-x)^2・・・(1)
三角形DANにおいて、
b^2=(a/2)^2+x^2・・・(2)

まず、(1)の式から、xが求められますね。
そのxの値を(2)に代入することで、bも求められます。
ここでaというのは、先程求めた正12角形のACの長さです。

このように、順番に、二つの三角形の
ピタゴラスの定理だけで、長さを確定していくことができます。
これを繰り返してアルキメデスは正96角形までを計算したんですね。

ご参考になればうれしいです。

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、...続きを読む


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