円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか。

円周と面積を関係づけた(同じ比例定数πがあらわれることを示した)アルキメデスの「円の計測」を読んでいて、円に外接する多角形の周は円周より大きいことが当然のこととして使わていることが理解できませんでした。
円に内接する多角形の周は円周より小さいのは明らかとして、外接多角形の周が円周より大きいことは自明なのでしょうか。

おわかりの方教えてください。

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A 回答 (12件中11~12件)

>st-1701さん


自明ではありません。例に挙げられている三角形ですが、底辺は2辺の和より短いことは明らかですが,円周(の一部)は底辺より長いことは判りますが、2辺の和との大小は不明です。

昔、解析概論(一松信)で同様な議論を読みました。詳細は忘れましたが、結構長い証明だったと思います。
ご存知の方フォローお待ちします。
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この回答へのお礼

おっしゃる通りであります。

お礼日時:2001/03/20 03:50

円に内接する多角形の周が円周より小さいのは明らか


ならば円に外接する多角形の周が円周より大きいのも不思議じゃないように思いますが。
円に外接する多角形の一部を考えてみてください。
多角形の頂点と円に接する接点2つで近似の三角形ができますよね。
三角形の2つの辺の和は他の1辺より長いの明らかですよね。
そう考えて、すべての合計を取れば外接する多角形のほうが円周より長くなります。
こんなもんでいかがでしょうか。
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この回答へのお礼

さっそくのお答えどうもありがとうございます。
bufu4uさんがおっしゃっているように、三角形の2辺の和と円弧との大小関係は自明ではないと思いますが、、、。

お礼日時:2001/03/20 03:47

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Q「円ドル双方向換算」マクロを作成しているのですが・・・(長文です)

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額を算出して返す
' 引数:円元金(Integer型)
' 返数:ドル換算
Dim 換算レート As Double
Dim 円換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 1 / 109.5

' ドル元金から円換算額を算出する
円換算額 = ドル元金 / 換算レート

' 円換算額を呼び出し元に戻す
ドル円換算 = 円換算額
End Function
Sub 円ドル双方向換算()
Dim ユーザー選択 As Integer
Dim 元金 As Integer
Dim 換算額 As Integer

' 円元金を取得する
円元金 = Range("B3").Value

' ドル元金を取得する
ドル元金 = Range("B3").Value

' 換算する通貨を判定し、それぞれについて換算を行う
If Range("B2") = 1 Then '円ドル換算を行う場合
換算額 = 円ドル換算(ドル元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(円ドル換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = 円ドル換算 '円ドル換算値を出力する
ElseIf Range("B2") = 2 Then 'ドル円換算を行う場合
換算額 = ドル円換算(円元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(ドル円換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = ドル円換算 'ドル円換算値を出力する
End If
End Sub

B2のセルにくる数字が1のときは円→ドルに、2のときはドル→円に換算するマクロを作りたいのですが・・・
元金はセルB3に、換算額はセルB4に表示します。
かなり初心者なので、模範解答を示してもらえると助かります^^;
よろしくお願いします><

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額...続きを読む

Aベストアンサー

もう少し親切にするなら、
B2に「入力規則」-「リスト」で「元の値」に「円→ドル,ドル→円」として
ユーザー定義関数側を
Function 通貨換算(元金 As Integer,モード As String)
と変更し、更にIf部分を
If モード = "円→ドル" Then
通貨換算 = Round(元金/レート,1)
Else
通貨換算 = Round(元金*レート,1)
End If
と変更すれば、「1はどっちへの換算だっけ?」と迷わず済みます。

なお、#1で回答した中の、
' 返数:換算結果(Integer型)
は不要ですね。

Q円に内接する正(n+1)角形の面積は、正n角形の面積よりも大きい

円に内接する正(n+1)角形の面積は、正n角形の面積よりも大きい

このことを解析的な視点と、幾何的な視点から証明したいのですが、どうにも分かりません。
なにかアイデアがありましたらいただけないでしょうか。

Aベストアンサー

正n角形の各頂点と円の中心を結んで、n個の三角形を作る。
すると、正n角形の面積は1/2×正n角形の周の長さ×三角形の高さ
になる。(三角形の高さは、円の中心から対辺への高さ)
正n角形の周の長さ、三角形の高さはnが増えると増加するので、
角数が大きくなると面積も増加する、という感じ。
実際、周の長さ=2n*sin(π/n)=2πsin(π/n)/(π/n)で、sinx/xは
x→+0のとき増加、三角形の高さはcos(π/n)で、cosxはx→+0のとき
増加する。

Q1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。
1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

ドル円は4円差があるのですが、香港ドルは0.4円しか差がありません。
この差を利用して儲けることができるのでしょうっか?

Aベストアンサー

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

で、そのとき、1ドルは何香港ドルだったのか。「1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円、1ドルが(121.5÷15.6)より多い香港ドル」だったとするなら、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えると得をする。
 こういう状況を「裁定機会」と言う。もし裁定機会が生じたら、1/1000秒にも満たないうちに誰か(のコンピュータ)がこの取引をやってしまうんで、すぐに換算レートが修正されて、裁定機会は消滅しちゃいます。すなわち、1ドルが(121.5)÷(15.6)香港ドル、というレートに修正されてしまうと、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えても、また円を香港ドルに替えてそれをドルに替えてそれを円に替えても、元のままです。
 円・ドル・香港ドルに限らず、商品(石油とか)や債券との間でも裁定機会は滅多に生じず、生じても即座に消滅する。(てか、古典的経済学では「裁定機会は存在しない」というのが定説だった。でも最近になって実際にデータを詳細に調べたら(まれに瞬間的に)裁定機会が生じていることが発見された、という話なんです。)

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

の時点でドルを買った人Aと、香港ドルを買った人Bとがいたとする。その後、第二の時点で

> 1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

となった。つまり、ドルも香港ドルも高くなった。この時点で、Aが手持ちのドルを円に替え、Bは手持ちの香港ドルを円に替えたとすると、A,Bどちらも、買うのに使った円よりも多くの円を手に入れる。
 これは単に、Aは円とドルの間の為替差益、Bは円と香港ドルの間の為替差益によって、この場合はたまたま儲けたというだけのことです。
 第二の時点でまだ売らずにおけば、後でもっと為替差益が大きくなってさらに儲けられるチャンスが来た(だから第二の時点で売らなきゃ良かった)かもしれないし、あるいは、売らずにおいたらその後「売ったら損になる」状況が続いて資金が塩漬けになっちゃう(だから第二の時点で売っといてよかった)かもしれない。
 要するに、売りたいときに売りたいものを持ってないと意味がない訳で、そのためにはあらかじめ「将来売りたくなるもの」を予想して買っておかなくてはならん。博打の一種にすぎません。

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

で、そのとき、1ドルは何香港ドルだったのか。「1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円、1ドルが(121.5÷15.6)より多い香港ドル」だったとするなら、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えると得をする。
 こういう状況を「裁定機会」と言う。もし裁定機会が生じたら、1/1000秒にも満たないうちに誰か(のコンピュータ)がこの取引をやってしまうんで、すぐに換算レートが修正されて、裁定機会は消滅しちゃいます。すなわち、1ドルが(121.5)÷(15.6)香...続きを読む

Q円の周長を測りたいんです。単純には外径×円周率で算出されると思うのです

円の周長を測りたいんです。単純には外径×円周率で算出されると思うのですが、他に計算する方法はありますか?外径2000のパイプの周長を計らなければならないのですが、いい方法が見つかりません。

Aベストアンサー

高所作業になるのを避けて、遠隔で測りたいのであれば、
直接に周長を測るよりも、直径を計って、質問文中の式で
計算するほうが良さそうです。離れた場所から直径を計る
のには、測量の器具・技術が使えるかも知れません。

Q円とドルの往復の際、平均レートで処理するとなぜ損になるのか

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。(そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、)
例 20,000を円からドルへ レート:1ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ドルを使用
残りの50ドルを円へ レート:1ドル100円として円は5,000円
(マーケットレートがあまり変わらない場合、円に戻す方がレートが悪いのでこういう想定にしました)
レートの200円と100円との平均は150円
海外で使用した50ドルを1ドル150円で換算すると7,500円
しかし、実際は20,000円持って行って返ってきたのが5,000円だから使用したのは15,000円で、7,500円しかもらえなかったら7,500円損する。
この差が出るのは
1. そもそも使った50ドルは200円で買ったドルなのだから、価値は10,000円。7,500円としか評価されなければ2,500円の損
2.返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので1ドル当たり50円損していて合計2,500円の損

でもこの2つの損を合計しても、5,000円の損であって、実際損した7,500円にならないのは何でなんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。(そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、)
例 20,000を円からドルへ レート:1ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ド...続きを読む

Aベストアンサー

>2.返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので1ドル当たり50円損していて合計2,500円の損
これがおかしいのでは.
返ってきたドルは,1ドル200円で買ったものなのに,1ドル100円になったしまったら,1ドルあたり100円損なんで,合計5000円の損ですね.2.は会社は無関係なんで,150円という数字は関係ないです.

Q円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する多角形の面積の公式
円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、(それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式)
円に内接する多角形の面積を求める公式はあるのでしょうか。

あるとすれば、その公式の名前、あるいはその公式が載っているURLを教えてください。
ないとすれば、なぜないのか(つくることの不可能性)を知っていれば教えてください。
取り合えず、あるかないかだけでも教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5角形以上でも各辺の長さが既知なら、外接円は決まると思いますよ。

外接円の半径が決まれば当然面積が決まります。

多角形の各辺の長さをa1,a2,・・・,an、
外接円の半径をr、
各辺に対応する中心角をθ1,θ2,・・・,θnとすると、
θ1+θ2+・・・+θn=2π
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r (k=1,2,・・・,n)
面積Sは、
S=Σ[k=1~n]ak*r*cos(θk/2)/2
=Σ[k=1~n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2

問題は、rが求められるかどうかですが、
sin(θ1/2+θ2/2+・・・+θn/2)=0
を加法定理で分解し、
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r
を代入して、rに関する方程式にして解けばいいはずです。
でも5角形以上で解けるかどうかは難しいでしょうね。
数値解析で求めるなら可能ですが。

Qドルと円の計算式 スイマセン、基本的な質問です。

ドルと円の関係を考えていたら頭がこんがらがってしまって・・・
計算式を教えてください。

例)
1ドル=95円で100万円ぶんドルを購入しました。
1ドル=100円の時、そのすべてを円に変えました。

いくら得したか分かる式を教えてください。
※銀行等の手数料等は一切加味せず、出ている数字のみで計算、
小数点以下切捨てでという前提でお願いします。

95円で100万円買うと10526ドル?
100円で100万買うと10000ドル??
差額の526ドルが儲けなんでしょうが、そのレートは100円で計算???
それとも買ったときの95円????

もう頭の中が?でいっぱいです(笑)
簡単に分かる方法ないですか?
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

95円のレートで100万円分のドルを買うと10526ドル。
10526ドルを100円のレートで円に換えると、10526×100で1,052,600円です。ですから5万2千600円の得です。まあ、526ドルの得と考えても良いですけど。結局526ドルを100円のレートで交換すれば52600円ですから同じです。

Q円に内接する多角形の性質

円に内接する多角形の性質

円に内接する三角形、四角形の性質は知られていますが、
一般化して、円に内接する多角形(n角形)の性質はあるんでしょうか?

あるなら、どのような性質か教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 凸多角形になります。

 また、偶数多角形(2n角形)の場合、隣り合わない内角の和は 180(n-1) 度になります。
 (つまり、その多角形の内角の和の半分になります。)

Q1ドル118円の時、円からドルに換金したドルと、1ユーロ151円の時、

1ドル118円の時、円からドルに換金したドルと、1ユーロ151円の時、円からユーロに換金したユーロをいくらかずつ所有しています。1ドル80円、1ユーロ114円となった今、これらの外貨を最小限の損失で運用するにはどうしたらいいでしょうか?

Aベストアンサー

先日TVで見たのですが、ドル円の予想で110~120円になるには10年くらいかかるという専門家が6人中3人でした。
ドルやユーロが通用するところへ旅行に行ったとき使ってくるくらいです。

Qアルキメデスが円周率を計算したやり方は?

Blue Backs「パソコンで挑む円周率」で教えられたのですが、世界で最初に円周率を計算により求めたのはアルキメデスとのことです。彼は円に内接・外接する正96角形の周の長さから円周率の近似値を計算し、3.14までは正確に求めたとのことです。

大変ためになる情報ですが、残念ながら私には正96角形の周の長さを求めるやり方が分かりません。アルキメデスは三角関数を知っていたのですか?
三角関数を知っているとしても、それを計算できたのでしょうか。

たぶん簡単なやり方があるのでしょうが、どなたか親切な方、教えてください。

Aベストアンサー

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、三角形AOMと三角形CAMでそれぞれ
ピタゴラスの定理を使います。

三角形AOMにおいて、
AM=1/2AB=1/2←この時点で、もうxは求まっています。
あとは、MC=yとおいたので、
OA^2=AM^2+OM^2
1=(1/2)^2+(1-y)^2
これを解けば、yが求まります。

次に、三角形CAMにおいて、同様にピタゴラスの定理より
CA^2=AM^2+CM^2
a^2=(1/2)^2+y^2
ここに、先程求めたyの値を代入してやれば、aの値も求まります。

これによって、12a=内接正12角形の周囲
と求められます。

これをさらに2等分、2等分・・としていくと
同様に正多角形の周囲が求められていくと思います。

ちょっとやってみます。
先程の12角形の12分の1の三角形は、三角形OACでした
便宜上、AC=aのままとします。
角AOCの二等分線は、線分ACと直交し、二等分するので
線分ACの中点をNとします。
ONの延長線と円の交点をDとします。
今度は、AD=bとおいて、bの値を求めれば
これは正24角形なので、24b=正24角形の周囲、となりますね。

OA=OC=1
AC=aより、AN=a/2
ND=xとおくと、
三角形AONにおいて、
1^2=(a/2)^2+(1-x)^2・・・(1)
三角形DANにおいて、
b^2=(a/2)^2+x^2・・・(2)

まず、(1)の式から、xが求められますね。
そのxの値を(2)に代入することで、bも求められます。
ここでaというのは、先程求めた正12角形のACの長さです。

このように、順番に、二つの三角形の
ピタゴラスの定理だけで、長さを確定していくことができます。
これを繰り返してアルキメデスは正96角形までを計算したんですね。

ご参考になればうれしいです。

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、...続きを読む


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