円と直線

傾きが2で円x^2＋y^2＝1に接する直線の方程式を答えよ。

解き方を教えてきださい！

No.4 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/10/07 14:16

みんな、何で面倒な解法をするかな。

。。。。ｗ

y＝2x＋a　が円：x^2＋y^2＝1　に接するから、円の中心（0、0）と直線：y＝2x＋a　との距離が円の半径である1に等しい。
点と直線との距離の公式から、1＝｜a｜/√5　。

No.5 回答者： alice_38 回答日時： 2009/10/07 15:05

素朴に、初等幾何で解くのは、どうでしょう。

座標平面上に円と直線を描いて考えると、
そのような直線は 2 本あることが分かります。
補助線として、原点と接点を結ぶ線分を引き、
現れた直角三角形で三平方の定理を使えば、
求める直線の x 切片と y 切片が分かります。

No.3 回答者： pasocom 回答日時： 2009/10/07 13:58

「傾きが2の直線」といわれたら、その方程式は「y＝2x＋a」であることをすぐに思いついて下さい。

次に「その直線が円に接する」といわれたら、連立方程式で「一つだけの解を持つ」ということに気付いて下さい。
よって、
x^2＋y^2＝1　・・・１式
y＝2x＋a　・・・２式
の連立方程式を解き、（x-b）^2＝0　と言う形に納まればいいので、このような形になるときの「a」を求めるのです。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/10/07 13:56

円周上の点(xo,yo)における接線の公式

xxo+yyo=1…(A)
を覚えていれば
この接線の傾きが2に等しいことから
-xo/yo=2
つまり
xo=-2yo　(yo≠0) …(B)
この式と(xo,yo)が円周上の点の条件の式
xo^2+yo^2=1 …(C)
から(B)と(C)を連立方程式として、(xo,yo)を求め
(A)に代入すれば接線の方程式が得られます（(xo,yo)は2組出てきますので接線は2本あるので注意）。

別解)
接線の方程式を
y=2x+a …(■)
とおき
x^2+y^2=1に代入して
x^2+(2x+a)^2=1
これを整理して
5x^2+4ax+a^2-1=0
重解条件の判別式D/4=0（接線の条件）から
4a^2+5(1-a^2)=0
これを解いてaを求め（2組存在）
(■)に代入してやれば接線（2組）の方程式が求まります。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2009/10/07 13:51

与式は原点を通り、半径が１の円ですね。

そうするとこの接線を
ax+by=1 とすると、この直線と原点の距離は１になりますね。直線と点の距離＝｜aX+bY-1|/(sqr(a^2+b^2)=1/sqr(a^2+b^2)=1 となります。ここで、X,Yは任意の点の座標で、今は原点からの距離ですから X,Y はともにゼロになります。
この直線の傾きが -a/b でこれが２なのですから -a/b=2
この二つの式を連立させれば aとb が計算できますね。
ヒント：答えは二つ出てきますよ(^_-)