ファンデルワールスの状態方程式の問題で質問です。

ファンデルワールスの状態方程式　(p+a/v^2)(v-b)=RT　を「v=」の形にしたいのですが、上手くいかずに本当に困っています。どなたか助けてください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/10/24 16:31

計算が面倒で、わざわざ何のためにそんなこををやるのかわかりませんが一応概略を書きます。

(p+a/v^2)(v-b)=RT...(1)
の両辺にv^2をかけて
(pv^2+a)(v-b)=RTv^2
とし、左辺をばらばらにして整理すると
pv^3-(pb+RT)v^2+av-ab=0...(2)
ここでv=V+αとします。αだけずらすのは(2)のv^2の項を消すためです。計算すれば
pV^3+(3pα-pb-RT)V^2+(3pα^2+a-2αpb-2αRT)V+α^3+aα-ab-pbα^2-α^2RT=0...(3)
となるはずです。だから
α=(pb+RT)/3p...(4)
にしてやれば、V^2の係数はゼロになります。その他の項にあるαについても(4)を代入してやり、全体をpで割れば、最終的に
V^3+3AV+B=0...(5)
という式になります。AとBは(3)に(4)を代入してp, a, b, RTなどを含む式になっているはずです。(5)がVについてとければこれに(4)を足したものがvになるので求めるものが得られることになります。
ここでV=u+vとおきます。そうすると(5)は
(u+v)^3+3A(u+v)+B=0
u^3+v^3+B+3(u+v)(uv+A)=0...(6)
となります。これより
uv=-A...(7)
u^3+v^3+B=0...(8)
になっていれば、答えが出せたことになります。(7)より
v=-A/u...(7)'
ですからこれを(8)に代入すれば
u^3-A^3/u^3+B=0
u^6+Bu^3-A^3=0...(9)
です。この式はu^3については簡単に解けます。その根をw, xとすれば、
u^3=w
u^3=x
を解けばよいことになります。即ち
(u-w^(1/3))(u^2+uw^(1/3)+w^(2/3))=0...(10)
(u-x^(1/3))(u^2+uw^(1/3)+w^(2/3))=0...(11)
となります。根の数がむやみと増えているように見えますが実際に計算すれば整理されるはずです。
(10)と(11)の結果を知れば対応するvはv=-A/uから出せます。そしてV=u+vからVが出てきます。それにαを足してやればvになり、(非常に頑張れば）お望みの式が出るはずです。ラフな書き方で申し訳ありませんが......

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/10/24 15:24

3次方程式を解くしかないんじゃないですか。

でも、普通はそんなことしなくてもすみますけど。