1次元、2次元、3次元でのリーマンテンソルについて
1次元、2次元、3次元でのリーマンテンソル:R_αβγδを計量テンソルg_μνやリッチテンソルR_μνやスカラー曲率Rを用いて表わす問題をやっているのですが・・・
1次元の場合はできました。
2次元の場合、自由度は1となるから
R_αβγδ=(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f・・・(☆)
という形になるはずであると答えには書かれているのですがなぜ(☆)のようになるのかわかりません。。。
また3次元の場合にも、
このとき、R_αβγδの独立成分の数は6。一方R_αβの独立成分に数も6であるからR_αβγδはR_αβの線形結合で書き直せるはずである。
R_αβγδ=a(g_αγR_βδ-g_βγR_αδ-g_αδR_βγ+g_βδR_αγ)+b(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)R・・・(★)
と書けるとあるのですがこれもさっぱりわかりません。
(☆)(★)となることを教えていただけないでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
3次元の場合だけ。
(3次元の場合が分れば2次元の場合も分かりそうなので)1.R_αβ,R_αβγδの独立成分はともに6。
2.R_αβはR_αβγδたちの線形結合で書ける。係数はg^αβたち(特にg_αβたちの関数)で与えられる。
この2つを踏まえると、
R_αβγδはR_αβたちの線形結合で書ける。係数はg_αβたち(のみ)の関数である。
という事が分ります。
g_αβ(とg^αβ),R_αβを組み合わせて作れる4階テンソルのうち、R_αβについて1次のものは結局
g_ij g_kl g^mn R_mn = g_ij g_kl R
g_ij R_klの2つしかありませんので、R_αβγδはこの2つの形をしたものの線形結合で書かれる事になります。(ijkl)は(αβγδ)の並び替えです。
あとはR_αβγδ,R_αβ,g_αβの対称性を踏まえると、
>R_αβγδ=a(g_αγR_βδ-g_βγR_αδ-g_αδR_βγ+g_βδR_αγ)+b(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)R
の形である事が導出されるんじゃないかな、と。
細かいことは考えてないので検算してください。
回答ありがとうございます。
質問なんですが、
2.R_αβはR_αβγδたちの線形結合で書ける。係数はg^αβたち(特にg_αβたちの関数)で与えられる。
といえるのはなぜですか?
No.2
- 回答日時:
>(1)g_μνに関する斉次4次式
という性質はなぜ言えるのでしょうか?
よく考えもせずに,いい加減なことをかいてしまいましたね。ごめんなさい。
私の勘違いでした。で,いろいろ考えてみてまだ自信はないのですが,次のように考えられないだろうか,と暫定的な説明を試みます。
2階以上のテンソルをg_μνで展開することは常にできる? たとえば,
R_αβγδ=g_αγB_βδ
両辺にg^αβをかければ,
g^αβR_αβγδ = B_γδ
となり,これによってテンソルB_γδが定まるから。
なお,私が先に書いた説明は,ご紹介のテキストの記述の意味とは考察が異なりますね。テキストの方は,上のような展開が可能であることを前提に,未知のテンソルを仮定してそれを導出するのでなく,独立な成分の個数の一致からダイレクトに計量テンソルとリッチテンソルの積の和になることを結論付けています。これは,6個の未知数は6個の方程式で決まるというのとほぼ同義かなと思います。さらには,リッチテンソルがリーマンテンソルの縮約によって得られることから,「自明」といえるのかもしれません。
No.1
- 回答日時:
R_αβγδは
(1)g_μνに関する斉次4次式で,かつ
(2)
R_αβγδ = -R_βαγδ すなわち(α,β)の置換について反対称
R_αβγδ = -R_αβδγ すなわち(γ,δ)の置換について反対称
R_αβγδ = R_γδαβ すなわち(α,γ),(β,δ)の同時置換について対称
という対称性を持ちます。以下,3次元の場合について考察します。
(1)(2)を考慮すると,A_αβを2階テンソルとして
R_αβγδ = g_αγ・A_βδ - g_αδ・A_βγ + g_βδ・A_αγ - g_βγ・A_αδ…(i)
と展開できなければなりません。なぜなら,テンソルをいくつかの項に分けたときに,各項はもとのテンソルに階数の等しいテンソルであり,(1)から必ずg_μνを因子として含まなければなりません。なおかつ(2)の対称性から上の形だけが許されることがわかります。たとえば任意の2階テンソルが対称テンソルと反対称テンソルの和
T_αβ = 1/2(T_αβ + T_βα) + 1/2(T_αβ-T_βα)
で表されることを思い起こしてください。
(i)をα,γについて縮約すると,
R_βδ = g^αγ R_αβγδ
= g^αγ(g_αγA_βδ - g_αδA_βγ + g_βδA_αγ - g_βγA_αδ)
= 3A_βδ - A_βδ + g_βδA - A_βδ ※A=g^αγA_αγ
= g_βδA + A_βδ
さらに,
R = g^βδR_βδ = 3A + A = 4A
より,
A_βδ = R_βδ - 1/4・g_βδR
と書けることになります。これを代入した結果が★なのです。代入後の計算はおまかせします。テキストでは,一般にR_αβγδがR_αβとRの項の和として書けることを自明として(上の証明がすんでいるものとして),係数をa,bと書いたのでしょう。a=1,b=1/2になります。2次元についてはもっと簡単ですから考えてみてください。
回答ありがとうございます!
回答を参考に2次元、3次元の場合も求まりました。
一つ質問なのですが、
(1)g_μνに関する斉次4次式
という性質はなぜ言えるのでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 量子力学 生成消滅演算子 2 2022/08/04 23:17
- 数学 線形代数学の問題です! Vは 4 次元ベクトル空間とし線形変換 f ∶ V→ V のある基底 v1, 1 2022/06/12 09:25
- 超常現象・オカルト パラレルワールドと 並行空間。 おなじ空間に別の空間。 アベンジャーズのような それぞれ 別の空間に 3 2023/01/21 12:55
- 数学 ふと気になったのですが、積分は 1次元(線分)を2次元(面積)に、 2次元を3次元(体積)に、 とい 1 2023/01/18 16:21
- 宇宙科学・天文学・天気 0次元は1次元の1部で1次元は2次元の1部で2次元は3次元の1部ですか?そうすると3次元は4次元の一 2 2022/06/29 08:56
- 物理学 どうして、スピードを出しても3次元にいられるのですか。 3 2023/05/30 21:12
- 数学 1次分数関数の問題です。 ご教授お願い致します。 1次分数関数である w=(ーz+2ーi)/((−2 2 2023/07/23 16:14
- 物理学 3次元の世界から2次元や1次元は見えます。 2次元の世界から3次元の世界は見えますか。 2次元の世界 6 2023/02/22 21:29
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 工学 分散表現のベクトルにおいて、たとえばリンゴの特徴量をどのように抽出するのでしょうか? 2 2023/08/23 15:40
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
磁場中の電子のシュレディンガ...
-
大学物理
-
ベルヌーイの定理
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
放物運動:2物体が空中で衝突す...
-
E2=m2c4+p2c2
-
過渡解は回路方程式の左辺 = 0...
-
下の写真の操作についてですが...
-
速度ポテンシャルと流れ関数
-
リーマンの曲率テンソルについて
-
実在気体のジュールトムソン係...
-
1次元、2次元、3次元でのリ...
-
対数の積分が解けません
-
eのlog2乗がなんで2になるので...
-
eのマイナス無限大乗
-
logの問題でルートが出てきたと...
-
広義積分の問題です。。。
-
logの読み方
-
面積から辺の長さを出す計算式
-
アンケートの複数回答での割合...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
大学理数科目の式変形、ゼロ除...
-
ベルヌーイの定理
-
振り子の周期T[s]を振り子の長...
-
速度ポテンシャルと流れ関数
-
電磁場中の荷電粒子の確率密度...
-
物理学の質問です。 2台の車Aと...
-
不確定性原理の右辺は h? h/2π?...
-
次の等式を満たす整数x,yの組を...
-
過渡解は回路方程式の左辺 = 0...
-
大学物理
-
物理の少し複雑な計算をお願い...
-
モノポールとベクトルポテンシャル
-
光伝搬の波動方程式の導出方法...
-
第二量子化の計算
-
フィックの第2法則のラプラス変...
-
気体の状態方程式と熱力学第一...
-
物理の公式の導出につきまして
-
熱伝導方程式の直交座標→極座標...
-
[0,1]区間上の関数f(x)=x^2に対...
おすすめ情報