ｐのべき指数について

ｎを自然数、ｐを素数とします。ｎ！の標準分解に現れるｐのべき指数が　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　となることの証明をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/05/20 00:11

直感的には自明なんですけどねえ。

きっちり証明しようとすると面倒ですね…。

[n/p]は、「nまでの数のうちで、pの倍数の個数」で、
[n/p^2]は、「p^2の倍数の個数」…以下同様…ですよね。

nまでの数で、
「pの倍数が存在したら、n!のpの指数は1増える」
「p^2の倍数が存在したら、n!のpの指数は2増える」
…以下同様…。
だけど、p^2の倍数はpの倍数でもあるので、
「pの倍数が存在したら、n!のpの指数は1増える」
「その中でp^2の倍数が存在したら、n!のpの指数は
もう1増える」
「さらにその中でp^3の倍数が存在したら…」以下同様。

というふうなことを、なんとか文章にまとめれば良いのではないでしょうか。